Platonische Mathematik
Hamming befragte fünf Hauptschulen über die Frage, was Mathematik ist. Keine hat sich als vollständig zufriedenstellend erwiesen.
Die älteste Schule: Platonismus. Plato argumentierte, dass die Welt der Ideen - einschließlich mathematischer Objekte - realer ist als die physische Welt. Physische Objekte sind unvollkommene, vorübergehende Instanziierungen von perfekten, unveränderlichen Formen.
Angewendet auf Mathematik: die Zahl 7 ist nicht die auf einer Seite geschriebene Zahl, nicht sieben Pferde, nicht sieben Stühle. Die abstrakte Zahl 7 existiert in einer Sphäre von reinen Ideen. Sie hat keine physische Instanziierung. Sie haben die Zahl 7 selbst noch nie gesehen, gehört, berührt oder gerochen - nur ihre Schatten in der physischen Welt.
Hamming's Schlüsselbeobachtung: unabhängig von der Notation ist 7 prim. In römischen Zahlen (VII), in binären Ziffern (111), in hexadezimalen Ziffern (7) - die Primzahlneigung hängt nicht von der Darstellung ab. Dieser Notation-Independent ist, was Platonisten als Beweis für die unabhängige Existenz mathematischer Objekte anführen.
Formalismus: Mathematik als Symbolmanipulation
Die formalistische Schule, die David Hilbert zugeschrieben wird, nimmt das Gegenteil ein. Mathematik ist ein formales Spiel: Wählen Sie ein Axiomensystem und Schließregeln, dann ermitteln Sie Lehrsätze, indem Sie die Regeln mechanisch anwenden. Die Symbole haben keine Bedeutung außerhalb des formalen Systems.
In dieser Sicht ist Mathematik erfunden, nicht entdeckt. Verschiedene Axiomensysteme erzeugen unterschiedliche Mathematik. Euklidische Geometrie und nichteuklidische Geometrie sind beide gültig - sie beginnen mit verschiedenen Axiomen.
Hamming's Position: Er handelt wie ein Platonist, wenn er Mathematik betreibt (er fühlt sich, als würde er vorexistierende Wahrheiten entdecken) und vermutet, dass die Formalisten recht haben, was die Grundlagen angeht (es gibt keine ewige Sphäre, nur das formale Spiel, das wir spielen).
Hamming's praktischer Test für ein mathematisches Ergebnis: unabhängig davon, welche Schule richtig ist, ist ein innerhalb eines konsistenten formalen Systems bewiesenes Theorem vertrauenswürdig. Der philosophische Streit beeinflusst nicht den Ingenieureffekt des Ergebnisses.
Mathematik und die physikalische Welt
Im Jahr 1960 veröffentlichte der Physiker Eugene Wigner einen Essay mit dem Titel 'The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences' (Die ungewöhnlich effektive Mathematik in den Naturwissenschaften). Die These: Mathematik, die reine Mathematiker für rein abstrakte Gründe entwickelt, beschreibt die physikalische Wirklichkeit mit beispielloser Genauigkeit.
Beispiele, die Hamming zitiert haben:
- Maxwells Gleichungen: aus rein mathematischer Eleganz und Symmetrie abgeleitet, vorweggenommen sie elektromagnetische Wellen - und speziell, die Lichtgeschwindigkeit - bevor es experimentelle Verifikation gab.
- Riemannsche Geometrie: entwickelt von Bernhard Riemann in den 1850er Jahren als reine Mathematik, ohne physische Anwendung im Sinn. Einstein verwendete es 60 Jahre später als das mathematische Rahmenwerk für die allgemeine Relativitätstheorie.
- Quantenmechanik: auf Hilbert-Räume, Operatoralgebren und Gruppentheorie aufgebaut - alles von Mathematikern unabhängig voneinander für abstrakte Gründe entwickelt.
Warum sollte Mathematik, die im Geist entwickelt wurde, für rein ästhetische Gründe, die physikalische Wirklichkeit so präzise beschreiben? Weder Platonisten noch Formalisten haben eine völlig zufriedenstellende Antwort.
Beurteilung von Wigners Rätsel
Wigners Beobachtung ist beeindruckend, aber sie kann hinterfragt werden. Nicht alle Mathematik, die entwickelt wird, ist nützlich - nur die Mathematik, die letztendlich etwas beschreibt, überlebt in der Geschichte der Physik. Vielleicht tut der Selektionseffekt die Arbeit.
Mehr Abstraktion = Breiter Anwendung
Hamming machte eine gegenintuitive Behauptung: Je abstrakter ein mathematisches Werkzeug ist, desto breiter ist seine Anwendung.
Konkrete Mathematik: die Formel für die Fläche eines bestimmten Rechtecks. Wird nur für eine Form angewendet.
Abstrakte Mathematik: Lineare Algebra über einem Körper. Wird in Quantenmechanik, Computergrafik, Volkswirtschaftslehre, Datenkompression, Schaltanalysen, Statistik - in jeder Domain, in der Vektoren und lineare Transformationen auftreten - angewendet.
Warum? Abstraktion entzieht domain-spezifischen Inhalten ihre Bedeutung und lässt nur die Struktur zurück. Zwei Systeme mit derselben Struktur unterwerfen sich denselben Sätzen, selbst wenn eines elektrische Felder und das andere Wahrscheinlichkeitsverteilungen betrifft.
Universelle Mathematik: Hamming stellte fest, dass jede Zivilisation, die in der Lage ist, interstellarische Kommunikation zu führen, die gleiche Mathematik entwickeln muss. Grund: Mathematik leitet ihre Satze von Axiomen aus mittels Logik ab, und die Logik scheint universell zu sein. Die Zahl 7 ist in jeder Notation prim, weil Primzahlheit eine strukturbasierte Eigenschaft ist und nicht notationsabhängig.
Der Wert der Abstraktion
Die Geschichte der Mathematik enthält viele Beispiele abstrakter Strukturen, die ohne Anwendung entwickelt wurden und später zu essentiellen Werkzeugen in der Physik oder Technik wurden.