Platonische Mathematik
Hamming untersuchte fünf Hauptschulen des Denkens darüber, was Mathematik ist. Keine hat sich als vollständig zufriedenstellend erwiesen.
Die älteste Schule: Platonismus. Platon argumentierte, dass die Welt der Ideen — einschließlich mathematischer Objekte — realer ist als die physische Welt. Physische Objekte sind unvollkommene, vorübergehende Konkretisierungen von perfekten, unveränderlichen Formen.
Angewandt auf Mathematik: Die Zahl 7 ist nicht die auf einer Seite geschriebene Ziffer, nicht sieben Pferde, nicht sieben Stühle. Die abstrakte Zahl 7 existiert in einem Reich reiner Ideen. Sie hat keine physische Konkretisierung. Du hast die Zahl 7 selbst nie gesehen, gehört, angefasst oder gerochen — nur ihre Schatten in der physischen Welt.
Hammings wichtige Beobachtung: Unabhängig von der Notation ist 7 eine Primzahl. In römischen Ziffern (VII), im Binärsystem (111), im Hexadezimalsystem (7) — die Primzahl-Eigenschaft hängt nicht von der Darstellung ab. Diese Notationsunabhängigkeit ist das, worauf Platonisten hinweisen als Beweis für die unabhängige Existenz mathematischer Objekte.
Formalismus: Mathematik als Symbolmanipulation
Die formalistische Schule, mit David Hilbert assoziiert, vertritt die entgegengesetzte Position. Mathematik ist ein formales Spiel: Man wählt einen Satz von Axiomen und Schlussfolgerungsregeln, leitet dann Theoreme durch mechanische Anwendung dieser Regeln ab. Die Symbole haben außerhalb des formalen Systems keine Bedeutung.
Nach dieser Ansicht wird Mathematik erfunden, nicht entdeckt. Unterschiedliche Axiomensysteme erzeugen unterschiedliche Mathematiken. Euklidische und nicht-euklidische Geometrie sind beide gültig — sie beginnen mit unterschiedlichen Axiomen.
Hammings Position: Er handelt wie ein Platonist, wenn er Mathematik betreibt (er hat das Gefühl, bereits existierende Wahrheiten zu entdecken), vermutet aber, dass die Formalisten in den Grundlagen recht haben (es gibt kein ewiges Reich, nur das formale Spiel, das wir spielen).
Hammings praktischer Test für ein mathematisches Ergebnis: Unabhängig davon, welche Schule recht hat, ist ein Theorem, das innerhalb eines konsistenten formalen Systems bewiesen ist, zuverlässig. Die philosophische Debatte beeinflusst nicht den praktischen Wert des Ergebnisses.
Mathematik und die physische Welt
1960 veröffentlichte der Physiker Eugene Wigner einen Essay mit dem Titel 'The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences'. Die These: Mathematik, die von reinen Mathematikern aus rein abstrakten Gründen entwickelt wurde, stellt sich immer wieder als unheimlich präzise geeignet heraus, die physische Realität zu beschreiben.
Beispiele, die Hamming anführte:
- Maxwells Gleichungen: aus reiner mathematischer Eleganz & Symmetrie abgeleitet, vorhersagten sie elektromagnetische Wellen — & insbesondere die Lichtgeschwindigkeit — vor jeder experimentellen Verifizierung.
- Riemannsche Geometrie: von Bernhard Riemann in den 1850er Jahren als reine Mathematik entwickelt, ohne physikalische Anwendung im Sinn. Einstein verwendete sie 60 Jahre später als mathematischen Rahmen für die allgemeine Relativitätstheorie.
- Quantenmechanik: aufgebaut auf Hilberträumen, Operatoralgebren & Gruppentheorie — alle unabhängig von Mathematikern aus abstrakten Gründen entwickelt.
Warum sollte Mathematik, die im Geist entwickelt wurde, aus rein ästhetischen Gründen, die physische Realität so präzise beschreiben? Weder Platonisten noch Formalisten haben eine vollständig befriedigende Antwort.
Wigners Rätsel bewerten
Wigners Beobachtung ist beeindruckend, kann aber in Frage gestellt werden. Nicht die ganze Mathematik, die entwickelt wird, stellt sich als nützlich heraus — nur die Mathematik, die am Ende etwas beschreibt, überlebt in der Geschichte der Physik. Vielleicht leistet eine Selektionseffekt die Arbeit.
Abstrakter = Breiter anwendbar
Hamming stellte eine kontraintuitive Behauptung auf: Je abstrakter ein mathematisches Werkzeug, desto breiter wendet es sich an.
Konkrete Mathematik: die Formel für die Fläche eines bestimmten Rechtecks. Gilt für eine Form.
Abstrakte Mathematik: lineare Algebra über einem Körper. Gilt für Quantenmechanik, Computergrafik, Wirtschaft, Datenkompression, Schaltungsanalyse, Statistik — jede Domäne, in der Vektoren & lineare Transformationen entstehen.
Warum? Abstraktion entfernt domänenspezifische Inhalte & lässt nur Struktur übrig. Zwei Systeme mit der gleichen Struktur gehorchen den gleichen Theoremen, auch wenn einer elektrische Felder & der andere Wahrscheinlichkeitsverteilungen beinhaltet.
Universale Mathematik: Hamming vermerkte, dass jede Zivilisation, die zu interstellarer Kommunikation fähig ist, die gleiche Mathematik entwickelt haben muss. Der Grund: Mathematik leitet ihre Theoreme aus Axiomen durch Logik ab, & Logik erscheint universell. Die Zahl 7 ist eine Primzahl in jeder Notation, weil Primzahlheit eine Struktureigenschaft ist, nicht eine Notationseigenschaft.
Der Wert der Abstraktion
Die Geschichte der Mathematik enthält viele Beispiele von abstrakten Strukturen, die ohne Anwendung im Sinn entwickelt wurden & sich später als wesentliche Werkzeuge in Physik oder Technik erwiesen.