Платонівська математика
Геммінг розглянув п'ять основних шкіл думки про те, що таке математика. Жодна з них не виявилася повністю задовільною.
Найстаріша школа: платонізм. Платон стверджував, що світ ідей — включаючи математичні об'єкти — є більш реальним, ніж фізичний світ. Фізичні об'єкти є недосконалими, тимчасовими втіленнями досконалих, незмінних форм.
Застосовано до математики: число 7 не є цифрою, написаною на сторінці, не сім коней, не сім стільців. Абстрактне число 7 існує в царстві чистих ідей. Воно не має фізичного втілення. Ви ніколи не бачили, не чули, не торкалися й не нюхали саме число 7 — лише його тіні у фізичному світі.
Ключне спостереження Геммінга: незалежно від позначення, 7 є простим числом. В римських цифрах (VII), у двійковій системі (111), у шістнадцятковій (7) — простота не залежить від представлення. Це незалежність від позначення — те, на що платоніки вказують як на доказ незалежного існування математичних об'єктів.
Формалізм: математика як маніпулювання символами
Школа формалізму, пов'язана з Давидом Гільбертом, займає протилежну позицію. Математика — це формальна гра: виберіть набір аксіом і правил висновків, потім виводите теореми механічно застосовуючи правила. Символи не мають значення поза формальною системою.
З цієї точки зору математика винаходиться, а не відкривається. Різні системи аксіом створюють різну математику. Евклідова геометрія й неевклідова геометрія обидві дійсні — вони починаються з різних аксіом.
Позиція Геммінга: він діє як платонік при заняттях математикою (він відчуває, що відкриває вже існуючі істини), але підозрює, що формалісти праві щодо основ (немає вічного царства, лише формальна гра, яку ми вибираємо грати).
Практичний тест Геммінга для математичного результату: незалежно від того, яка школа правильна, теорема, доведена в послідовній формальній системі, є надійною. Філософська дискусія не впливає на інженерну цінність результату.
Математика й фізичний світ
У 1960 році фізик Євген Вігнер опублікував есей під назвою 'Невиправдана ефективність математики в природничих науках.' Теза: математика, розроблена чистими математиками з чисто абстрактних причин, постійно виявляється такою, що описує фізичну реальність з дивовижною точністю.
Приклади, які цитував Геммінг:
- Рівняння Максвелла: виведені з чистої математичної елегантності & симетрії, вони передбачили електромагнітні хвилі — & конкретно, швидкість світла — до будь-якої експериментальної перевірки.
- Геометрія Рімана: розроблена Бернгардом Ріманом у 1850-х років як чиста математика, без фізичного застосування на думці. Айнштайн використав її 60 років пізніше як математичну основу загальної теорії відносності.
- Квантова механіка: побудована на гільбертових просторах, операторних алгебрах & теорії груп — все розроблено незалежно математиками з абстрактних причин.
Чому математика, розроблена в розумі, з чисто естетичних причин, має описувати фізичну реальність так точно? Ні платоніки, ні формалісти не мають повністю задовільної відповіді.
Оцінка головоломки Вігнера
Спостереження Вігнера вражаюче, але його можна піддавати сумніву. Не вся математика, яка розроблюється, виявляється корисною — лише математика, яка в результаті описує щось, виживає в історії фізики. Можливо, ефект відбору роблять роботу.
Більш абстрактне = більш широко застосовне
Геммінг висунув парадоксальне твердження: чим більш абстрактний математичний інструмент, тим більше він застосовується.
Конкретна математика: формула площі конкретного прямокутника. Застосовується до однієї форми.
Абстрактна математика: лінійна алгебра над полем. Застосовується до квантової механіки, комп'ютерної графіки, економіки, стиснення даних, аналізу схем, статистики — будь-якої області, де з'являються вектори й лінійні перетворення.
Чому? Абстракція видаляє дельталогічно специфічний зміст, залишаючи лише структуру. Дві системи з однаковою структурою повинні підкоритися тим же теоремам, навіть якщо одна включає електричні поля, а інша — розподіли ймовірності.
Універсальна математика: Геммінг відзначив, що будь-яка цивілізація, здатна до міжзоряних комунікацій, повинна була розробити ту саму математику. Причина: математика виводить свої теореми з аксіом через логіку, & логіка видається універсальною. Число 7 є простим у будь-якому позначенні, тому що простота — це структурна властивість, а не позиційна.
Цінність абстракції
Історія математики містить багато прикладів абстрактних структур, розроблених без застосування на думці, які пізніше стали необхідними інструментами у фізиці або інженерії.