Toán học Platonic
Hamming khảo sát năm trường phái chính về toán học là gì. Không có trường phái nào đã chứng minh hoàn toàn thỏa đáng.
Trường phái cổ nhất: Chủ nghĩa Platonic. Plato lập luận rằng thế giới của các ý tưởng — bao gồm các đối tượng toán học — thực hơn thế giới vật lý. Các đối tượng vật lý là những sự hiện thực hóa không hoàn hảo, tạm thời của các hình thức hoàn hảo, bất biến.
Áp dụng vào toán học: số 7 không phải là chữ số viết trên một trang, không phải bảy con ngựa, không phải bảy cái ghế. Số trừu tượng 7 tồn tại trong một lĩnh vực của các ý tưởng thuần khiết. Nó không có sự hiện thực hóa vật lý. Bạn chưa bao giờ nhìn thấy, nghe, chạm vào, hoặc ngửi thấy chính số 7 — chỉ bóng của nó trong thế giới vật lý.
Quan sát chính của Hamming: bất kể ký hiệu, 7 là số nguyên tố. Trong chữ số La Mã (VII), trong hệ nhị phân (111), trong hệ thập lục phân (7) — tính nguyên tố không phụ thuộc vào biểu diễn. Sự độc lập ký hiệu này là những gì những nhà Platonic chỉ ra để làm bằng chứng cho sự tồn tại độc lập của các đối tượng toán học.
Chủ nghĩa Hình thức: Toán học như là Thao tác Ký hiệu
Trường phái Chủ nghĩa Hình thức, liên quan đến David Hilbert, lấy vị trí ngược lại. Toán học là một trò chơi hình thức: chọn một tập hợp các tiên đề và quy tắc suy luận, sau đó suy ra các định lý bằng cách áp dụng các quy tắc một cách cơ học. Các ký hiệu không có ý nghĩa bên ngoài hệ thống hình thức.
Theo quan điểm này, toán học được phát minh, không phải được khám phá. Các hệ thống tiên đề khác nhau tạo ra các toán học khác nhau. Hình học Euclid và hình học phi Euclid đều hợp lệ — chúng bắt đầu từ các tiên đề khác nhau.
Vị trí của Hamming: anh ta hành động như một nhà Platonic khi làm toán (anh ta cảm thấy mình đang khám phá những sự thật đã tồn tại trước đó) nhưng nghi ngờ rằng những nhà Chủ nghĩa Hình thức là đúng về những nền tảng (không có lĩnh vực vĩnh hằng, chỉ có trò chơi hình thức mà chúng ta chọn để chơi).
Bài kiểm tra thực tế của Hamming cho một kết quả toán học: bất kể trường phái nào là đúng, một định lý được chứng minh trong một hệ thống hình thức nhất quán là đáng tin cậy. Cuộc tranh luận triết học không ảnh hưởng đến giá trị kỹ thuật của kết quả.
Toán học và Thế giới Vật lý
Năm 1960, nhà vật lý Eugene Wigner xuất bản một bài luận có tiêu đề 'Hiệu quả Không hợp lý của Toán học trong Các Khoa học Tự nhiên'. Luận điểm: toán học được phát triển bởi những nhà toán học thuần túy vì những lý do hoàn toàn trừu tượng liên tục được chứng minh là mô tả thực tế vật lý với độ chính xác kỳ lạ.
Những ví dụ Hamming trích dẫn:
- Phương trình Maxwell: có nguồn gốc từ sự thanh lịch & đối xứng toán học thuần túy, chúng dự đoán sóng điện từ — và cụ thể, tốc độ ánh sáng — trước bất kỳ xác minh thực nghiệm nào.
- Hình học Riemann: được phát triển bởi Bernhard Riemann vào những năm 1850 như toán học thuần túy, không có ứng dụng vật lý trong tâm trí. Einstein đã sử dụng nó 60 năm sau đó như framework toán học cho thuyết tương đối rộng.
- Cơ học lượng tử: được xây dựng trên không gian Hilbert, đại số toán tử, & lý thuyết nhóm — tất cả được phát triển độc lập bởi các nhà toán học vì những lý do trừu tượng.
Tại sao toán học được phát triển trong tâm trí, vì những lý do hoàn toàn th美학, lại mô tả thực tế vật lý một cách chính xác như vậy? Cả nhà Platonism lẫn nhà Chủ nghĩa Hình thức đều không có câu trả lời hoàn toàn thỏa đáng.
Đánh giá Câu Đố của Wigner
Quan sát của Wigner là đáng chú ý, nhưng nó có thể được nghi vấn. Không phải tất cả toán học được phát triển đều được chứng minh là hữu ích — chỉ có toán học kết thúc mô tả một cái gì đó sống sót trong lịch sử vật lý. Có lẽ hiệu ứng lựa chọn đang làm công việc.
Trừu tượng Hơn = Ứng dụng Rộng Hơn
Hamming đưa ra một khẳng định phản trực giác: toán học trừu tượng hơn, ứng dụng rộng hơn.
Toán học cụ thể: công thức tính diện tích của một hình chữ nhật cụ thể. Áp dụng cho một hình.
Toán học trừu tượng: đại số tuyến tính trên một trường. Áp dụng cho cơ học lượng tử, đồ họa máy tính, kinh tế, nén dữ liệu, phân tích mạch, thống kê — bất kỳ lĩnh vực nào nơi vectơ và phép biến đổi tuyến tính phát sinh.
Tại sao? Trừu tượng hóa tước bỏ nội dung cụ thể của lĩnh vực, để lại chỉ cấu trúc. Hai hệ thống có cùng cấu trúc tuân theo cùng các định lý, ngay cả khi một cái liên quan đến các trường điện từ và cái khác liên quan đến các phân bố xác suất.
Toán học Phổ quát: Hamming lưu ý rằng bất kỳ nền văn minh nào có khả năng giao tiếp liên sao phải đã phát triển cùng một toán học. Lý do: toán học suy ra các định lý của nó từ tiên đề thông qua logic, & logic dường như phổ quát. Số 7 là số nguyên tố trong bất kỳ ký hiệu nào vì tính nguyên tố là một tài sản cấu trúc, không phải một tài sản ký hiệu.
Giá trị của Trừu tượng
Lịch sử toán học chứa nhiều ví dụ về các cấu trúc trừu tượng được phát triển mà không có ứng dụng trong tâm trí mà sau này trở thành các công cụ thiết yếu trong vật lý hoặc kỹ thuật.