الرياضيات البلاطونية
استطلاع حامنجيوس خمسة مدارس رئيسية حول ما هي الرياضيات. لم يكن أي منها مرضياً بشكل كامل.
المدارس البلاطونية: الرياضيات البلاطونية. اقترح بلاتو أن عالم الأفكار - بما في ذلك الأشياء الرياضية - أكثر واقعية من العالم المادي. الأشياء المادية غير المكتملة، المؤقتة تظهر أشكالًا مثالية غير متغيرة.
فيما يتعلق بالرياضيات: العدد 7 ليس الرقم المكتوب على الورق، ليس سبعة خيول، وليس سبعة كراسي. العدد المنطقي 7 موجود في عالم الأفكار النقية. ليس له وجود مادي. لم ترَ، سمعت، لمست، أو شمت عدد 7 نفسه - فقط ظلاله في العالم المادي.
ملاحظة حامنجي: بغض النظر عن الرموز، 7 هو عدد أولي. في الأرقام الرومانية (VII)، وفي الباينري (111)، وفي الهكساديسيمالي (7) - لا تعتمد الأولية على التمثيل. هذا استقلالية الرموز ما الذي يدل البلاطونيون عليه كدليل على وجود الأشياء الرياضية المستقلة.
الفORMALISM: الرياضيات كتلاعب بالرموز
المدرسة الفORMALIST، مرتبطة بـ ديفيد هيلبرت، تقدم وجهة نظر عكسية. الرياضيات هي لعبة رسمية: اختر مجموعة من الأقساط والقواعد الاستنتاجية، ثم استنتج النتائج عن طريق تطبيق الآلي للقواعد. الأهمية الرموز خارج النظام الرسمي.
في هذا السياق، الرياضيات هي اختراع، وليست اكتشافًا. أنظمة الأقساط المختلفة تنتج رياضيات مختلفة. الهندسة الأوروبية والهندسة غير الأوروبية كلاهما صحيح - يبدأان من أصول مختلفة.
نظرية حامنجي: يتصرف كبلاطوني عند القيام بالرياضيات (يشعر أنه يكتشف الحقائق الموجودة مسبقًا) ولكن يعتقد أن الفORMALIST هم الأصحاء حول الأساس (لا توجد عالم كائن، فقط اللعبة الرسمية التي نختار لعبها).
اختبار حامنجي العملي للنتيجة الرياضية: بغض النظر عن المدرسة الصحيحة، النتائج التي تم استنتاجها داخل نظام رسمي ثابتة هو موثوق به. لا تؤثر النقاشات الفلسفية على قيمة الهندسة العملية للنتيجة.
الرياضيات والعالم الطبيعي
في عام 1960، نشر الفيزيائي إوجين وينغر مقالًا بعنوان "فائدة غير منطقية للرياضيات في العلوم الطبيعية". الفكرة: الرياضيات التي طورها الرياضيين النظائرية دون أي تطبيق في الذهن تتناسب مع الواقع الطبيعي بدقة غير عادية.
مثالات اقتبره هامنج:
- معادلات ماكسويل: تم تطويرها من أجل الجمال الرياضي والأحسناء والتناغم، ووصفت موجات الكهرومغناطيسية - وعلى وجه الخصوص، سرعة الضوء - قبل التأكد التجريبي.
- الجبر الريماني: تم تطويره بواسطة برنارد ريمان في الـ 1850s كرياضيات نظائرية، دون تطبيق في الذهن. استخدم إينشتاينه 60 عامًا لاحقًا كإطار رياضي للثورة العامة.
- ميكانيكا الكم: تم بناؤه على فضاءات هيلبرت والجبرات المترابطة والمناهج المجموعية - جميعها تم تطويرها بشكل مستقل بواسطة الرياضيين النظائرية دون أسباب أبستيمالية.
لماذا يجب أن تتناسب الرياضيات التي تم تطويرها في الذهن، دون أي أسباب أبستيمالية، مع الواقع الطبيعي بدقة غير عادية؟ لا يوجد إجابة تامة لكل من بلاتونيين أو رسميين.
تقيم لغز وينغر
ملاحظة وigner المدهشة، لكنها يمكن الاستفسار عنها. لا كل الرياضيات التي يتم تطويرها تثبت أنها مفيدة - فقط الرياضيات التي تنتهي بوصف شيء ما تنجو في تاريخ الفيزياء. ربما كان تأثير الاختيار يفعل العمل.
المزيد من الابسترة = التطبيق العام أكثر
صدر حكم غير ملموس: كلما كانت أداة رياضية أكثر ابسترة، زادت نطاق تطبيقها.
الرياضيات الملموسة: صيغة المساحة الخاصة لمربع معين. تطبق على شكل واحد.
الرياضيات الأبسترة: الجبر الخطي على مجال. تطبق على الميكانيك الكم، وتطبيقات الرسم البياني، والاقتصاد، وتضغط البيانات، وتحليل الدارات، والإحصاء - أي مجال يظهر فيه المتجهات والتحولات الخطية.
لماذا؟ الابسترة تتم إزالة المحتوى المحدد للمجال، مما يترك فقط التركيب. تتبع أي نظامين مع نفس التركيب نفس الأطروحات، حتى إذا كان أحدهما يتضمن حقول كهربائية والأخرى تتضمن توزيعات الاحتمالية.
رياضيات عالمية: لاحظ هامينغ أن أي ثقافة قادرة على التواصل بين النجوم يجب أن تطورت الرياضيات نفسها. السبب: تتمحور الرياضيات في استنباطها للأدلة من الأصول من خلال المنطق، ومنظور عام، يبدو المنطق عالميا. الرقم 7 هو أولي الأعداد في أي علامة لأن الأولية هي خاصية بنائية وليست علامية.
قيمة التعميم
تحتوي تاريخ الرياضيات على العديد من الأمثلة على البنى المستعارة التي تم تطويرها بدون تطبيق محدد لاحقًا أصبحت أدوات أساسية في الفيزياء أو الهندسة.