الرياضيات الأفلاطونية
استعرض هامنج خمس مدارس فكرية رئيسية حول ماهية الرياضيات. لم يثبت أي منها أنه مرضٍ بالكامل.
أقدم مدرسة: الأفلاطونية. جادل أفلاطون بأن عالم الأفكار — بما في ذلك الأجسام الرياضية — أكثر حقيقية من العالم المادي. الأجسام المادية تجسيدات غير كاملة مؤقتة لأشكال كاملة و ثابتة.
بتطبيق هذا على الرياضيات: الرقم 7 ليس الرمز المكتوب على الصفحة، و ليس سبعة أحصنة، و ليس سبع كراسي. الرقم المجرد 7 موجود في عالم من الأفكار الخالصة. لا يوجد له تجسيد مادي. أنت لم تر أو تسمع أو تلمس أو تشم الرقم 7 نفسه قط — فقط ظلاله في العالم المادي.
ملاحظة هامنج الرئيسية: بغض النظر عن الترميز، 7 عدد أولي. في الأرقام الرومانية (VII)، في النظام الثنائي (111)، في النظام السادس عشري (7) — العددية لا تعتمد على التمثيل. هذه استقلالية الترميز هي ما يشير إليه الأفلاطونيون كدليل على الوجود المستقل للأجسام الرياضية.
الشكلية: الرياضيات كمعالجة الرموز
مدرسة الشكلية، المرتبطة بـ ديفيد هيلبرت، تأخذ الموقف المعاكس. الرياضيات لعبة صورية: اختر مجموعة من البديهيات و قواعد الاستدلال، ثم استمد النظريات بتطبيق القواعد بشكل ميكانيكي. الرموز لا معنى لها خارج النظام الصوري.
من هذا المنظور، الرياضيات مكتشفة، لا مكتشفة. أنظمة البديهيات المختلفة تنتج رياضيات مختلفة. الهندسة الإقليدية و الهندسة غير الإقليدية كلاهما صحيح — فهي تبدأ من بديهيات مختلفة.
موقف هامنج: يتصرف كأفلاطوني عند القيام بالرياضيات (يشعر أنه يكتشف حقائق موجودة مسبقًا) لكنه يشك في أن الشكليين محقون حول الأسس (لا توجد عوالم أبدية، فقط اللعبة الصورية التي نختار أن نلعبها).
اختبار هامنج العملي لنتيجة رياضية: بغض النظر عن أي مدرسة محقة، تكون نظرية مثبتة داخل نظام صوري متسق موثوقة. النقاش الفلسفي لا يؤثر على القيمة الهندسية للنتيجة.
الرياضيات و العالم المادي
في عام 1960، نشر الفيزيائي يوجين ويغنر مقالة بعنوان 'الفعالية غير المعقولة للرياضيات في العلوم الطبيعية'. الأطروحة: الرياضيات التي طورها علماء الرياضيات البحتة لأسباب بحتة مجردة تبين أنها تصف الواقع المادي بدقة غريبة.
أمثلة استشهد بها هامنج:
- معادلات ماكسويل: مشتقة من الأناقة الرياضية البحتة & التماثل، تنبأت بالموجات الكهرومغناطيسية — و بشكل محدد، بسرعة الضوء — قبل أي تحقق تجريبي.
- الهندسة الريمانية: طورتها برنهارد ريمان في خمسينيات القرن التاسع عشر كرياضيات بحتة، بدون أي تطبيق فيزيائي في الاعتبار. استخدمها أينشتاين بعد 60 سنة كإطار العمل الرياضي للنسبية العامة.
- الميكانيكا الكمية: مبنية على فضاءات هيلبرت، جبر المؤثرات، & نظرية المجموعات — كل هذا طورها علماء الرياضيات بشكل مستقل لأسباب مجردة.
لماذا يجب أن تصف الرياضيات التي طورت في العقل، لأسباب جمالية بحتة، الواقع المادي بدقة كبيرة؟ لا الأفلاطونيون و لا الشكليون لديهم إجابة مرضية بالكامل.
تقييم لغز ويغنر
ملاحظة ويغنر مثيرة للاهتمام، لكن يمكن الطعن فيها. ليست كل الرياضيات التي يتم تطويرها تبين أنها مفيدة — فقط الرياضيات التي تصف شيئاً ما تبقى في تاريخ الفيزياء. ربما يكون تأثير الاختيار هو الذي يقوم بالعمل.
المزيد من التجريد = التطبيق الأوسع
قدم هامنج ادعاءً ضد البديهي: كلما كانت أداة رياضية أكثر تجريداً، كلما انطبقت بشكل أوسع.
الرياضيات المحددة: صيغة لمساحة مستطيل معين. ينطبق على شكل واحد.
الرياضيات المجردة: الجبر الخطي على الحقل. ينطبق على الميكانيكا الكمية، رسومات الحاسوب، الاقتصاد، ضغط البيانات، تحليل الدوائر، الإحصائيات — أي مجال حيث تظهر المتجهات و التحويلات الخطية.
لماذا؟ التجريد يزيل المحتوى الخاص بالمجال، تاركاً البنية الأساسية فقط. نظامان بنفس البنية يطيعان نفس النظريات، حتى لو تضمن أحدهما حقول كهربائية و الآخر توزيعات احتمالية.
الرياضيات الكونية: لاحظ هامنج أن أي حضارة قادرة على الاتصال بين النجوم يجب أن تكون قد طورت نفس الرياضيات. السبب: تشتق الرياضيات نظرياتها من البديهيات عبر المنطق، و يبدو أن المنطق عالمي. الرقم 7 عدد أولي في أي ترميز لأن العددية هي خاصية هيكلية، وليست ترميزية.
قيمة التجريد
يحتوي تاريخ الرياضيات على العديد من الأمثلة على البنى المجردة التي طورت بدون تطبيق في الاعتبار و التي أصبحت لاحقاً أدوات أساسية في الفيزياء أو الهندسة.