Platonsk matematik
Hamming undersökte fem huvudsakliga skolors syn på vad matematik är. Ingen har visat sig vara helt tillfredsställande.
Den äldsta skolan: Platonism. Platon hävdade att världen av idéer — inklusive matematiska objekt — är mer verklig än den fysiska världen. Fysiska objekt är ofullkomliga, tillfälliga instanser av perfekta, oföränderliga former.
Applicerat på matematik: talet 7 är inte siffran skriven på en sida, inte sju hästar, inte sju stolar. Det abstrakta talet 7 finns i en sfär av rena idéer. Det har ingen fysisk instans. Du har aldrig sett, hört, rört eller luktat talet 7 själv — bara dess skuggor i den fysiska världen.
Hammings huvudsakliga observation: oavsett notation är 7 primtal. I romerska siffror (VII), i binär (111), i hexadecimal (7) — primtalen beror inte på representationen. Denna notationsoberoende är vad platonister pekar på som bevis för matematiska objekts oberoende existens.
Formalism: Matematik som symbolhantering
Den formalistiska skolan, förknippad med David Hilbert, tar motsatt ställning. Matematik är ett formalt spel: välj en uppsättning axiom och slutledningsregler, sedan härleda satser genom att mekaniskt tillämpa reglerna. Symbolerna har ingen betydelse utanför det formala systemet.
Enligt denna syn är matematik uppfunnen, inte upptäckt. Olika axiomystem producerar olika matematik. Euklidisk geometri och icke-euklidisk geometri är båda giltiga — de börjar från olika axiom.
Hammings ställning: han agerar som en platonist när han gör matematik (han känner att han upptäcker redan existerande sanningar) men misstänker att formalisterna har rätt om grunderna (det finns ingen evig rike, bara det formala spel vi väljer att spela).
Hammings praktiska test för ett matematiskt resultat: oavsett vilken skola som är rätt är en sats bevisad inom ett konsistent formalt system tillförlitlig. Den filosofiska debatten påverkar inte resultatet tekniska värde.
Matematik och den fysiska världen
År 1960 publicerade fysikern Eugene Wigner en uppsats med titeln 'Matematikens opåkallad effektivitet i naturvetenskapen.' Tesen: matematik utvecklad av rena matematiker för rent abstrakta orsaker visar sig ständigt beskriva den fysiska verkligheten med kuslig precision.
Exempel Hamming citerade:
- Maxwells ekvationer: härledda från ren matematisk elegans & symmetri, förutsade de elektromagnetiska vågor — och specifikt, ljusets hastighet — före någon experimentell verifiering.
- Riemannsk geometri: utvecklad av Bernhard Riemann på 1850-talet som ren matematik, utan någon fysisk tillämpning i åtanke. Einstein använde den 60 år senare som den matematiska ram för allmän relativitetsteori.
- Kvantmekanik: byggd på Hilbert-rum, operatoralgebra och gruppteori — alla utvecklade oberoende av matematiker för abstrakta orsaker.
Varför ska matematik utvecklad i sinnet, för rent estetiska skäl, beskriva den fysiska verkligheten så exakt? Varken platonister eller formalister har ett helt tillfredsställande svar.
Utvärdera Wigners pussel
Wigners observation är slående, men den kan ifrågasättas. Inte all matematik som utvecklas visar sig vara användbar — bara den matematik som slutligen beskriver något överlever i fysikhistorian. Kanske är urvalseffekten det som gör arbetet.
Mer abstrakt = Mer brett tillämpligt
Hamming gjorde ett motintuitivt påstående: ju mer abstrakt ett matematiskt verktyg är, desto mer brett tillämpas det.
Konkret matematik: formeln för arean av en specifik rektangel. Gäller för en form.
Abstrakt matematik: linjär algebra över en kropp. Gäller kvantmekanik, datorgrafik, ekonomi, datakompression, kretsanalys, statistik — varje domän där vektorer och linjära transformationer uppstår.
Varför? Abstraktion tar bort domänspecifikt innehål, vilket lämnar bara struktur. Två system med samma struktur följer samma satser, även om den ena innefattar elektriska fält och den andra sannolikhetsfördelningar.
Universal matematik: Hamming noterade att alla civilisationer som kan kommunicera mellan stjärnorna måste ha utvecklat samma matematik. Anledningen: matematik härleder sina satser från axiom via logik, och logik verkar universell. Talet 7 är primtal i vilken notation som helst eftersom primtal är en strukturell egenskap, inte en notationell.
Värdet av abstraktion
Matematikens historia innehåller många exempel på abstrakta strukturer utvecklade utan tillämpning i åtanke som senare blev väsentliga verktyg inom fysik eller teknik.