Matematyka Platońska
Hamming przeanalizował pięć głównych szkół myśli na temat tego, czym jest matematyka. Żadna nie okazała się w pełni zadowalająca.
Najstarsza szkoła: Platonizm. Platon argumentował, że świat idei — w tym obiekty matematyczne — jest bardziej rzeczywisty niż świat fizyczny. Obiekty fizyczne są niedoskonałymi, czasowymi instancjami doskonałych, niezmiennych form.
Zastosowane do matematyki: liczba 7 to nie cyfra napisana na stronie, nie siedem koni, nie siedem krzeseł. Abstrakcyjna liczba 7 istnieje w sferze czystych idei. Nie ma fizycznej instancji. Nigdy nie widziałeś, nie słyszałeś, nie dotknąłeś ani nie pachałeś samą liczbę 7 — tylko jej cienie w świecie fizycznym.
Kluczowa obserwacja Hamminga: niezależnie od notacji, 7 jest liczbą pierwszą. W cyfrach rzymskich (VII), w systemie binarnym (111), w szesnastkowym (7) — pierwotność nie zależy od reprezentacji. Ta niezależność od notacji to na co zwracają uwagę platonicy jako dowód niezależnego istnienia obiektów matematycznych.
Formalizm: Matematyka jako manipulacja symbolami
Szkoła Formalistów, związana z Davidem Hilbertem, zajmuje stanowisko przeciwne. Matematyka jest formalną grą: wybierz zbiór aksjomatów i reguł wnioskowania, a następnie wyprowadź twierdzenia, mechanicznie stosując reguły. Symbole nie mają żadnego znaczenia poza systemem formalnym.
W tym ujęciu matematyka jest wynaleziona, a nie odkryta. Różne systemy aksjomatów produkują różne matematyki. Geometria euklidesowa i geometria nieeuklidesowa są obie ważne — zaczynają od różnych aksjomatów.
Stanowisko Hamminga: zachowuje się jak platonist podczas uprawiania matematyki (czuje, że odkrywa preegzystencyjne prawdy), ale podejrzewa, że formaliści mają rację co do podstaw (nie ma żadnej wiecznej sfery, tylko formalnej gry, którą wybieramy do gry).
Praktyczny test Hamminga dla wyniku matematycznego: niezależnie od tego, która szkoła ma rację, twierdzenie udowodnione w obrębie spójnego systemu formalnego jest niezawodne. Debata filozoficzna nie wpływa na wartość inżynieryjną wyniku.
Matematyka a świat fizyczny
W 1960 roku fizyk Eugene Wigner opublikował artykuł zatytułowany 'Nieproporcjonalna efektywność matematyki w naukach przyrodniczych.' Teza: matematyka opracowana przez czystych matematyków z czysto abstrakcyjnych powodów okazuje się opisywać rzeczywistość fizyczną z niesamowitą precyzją.
Przykłady przytoczone przez Hamminga:
- Równania Maxwella: wyprowadzone z czystej elegancji matematycznej & symetrii, przewidywały fale elektromagnetyczne — a konkretnie prędkość światła — zanim jakiekolwiek weryfikacje doświadczalne.
- Geometria Riemanna: opracowana przez Bernharda Riemanna w latach 1850. jako czysta matematyka, bez żadnych fizycznych zastosowań w umyśle. Einstein użył jej 60 lat później jako matematycznej ramy dla ogólnej teorii względności.
- Mechanika kwantowa: zbudowana na przestrzeniach Hilberta, algebrach operatorów i teorii grup — wszystko opracowane niezależnie przez matematyków z abstrakcyjnych powodów.
Dlaczego matematyka opracowana w umyśle, z czysto estetycznych powodów, powinna opisywać rzeczywistość fizyczną tak precyzyjnie? Ani platon icy, ani formaliści nie mają w pełni zadowalającej odpowiedzi.
Ocena zagadki Wignera
Obserwacja Wignera jest uderzająca, ale można ją kwestionować. Nie wszystkie matematyki, które zostały opracowane, okazują się użyteczne — tylko matematyka, która kończy się coś opisując, przetrwa w historii fizyki. Być może efekt selekcji robi pracę.
Im bardziej abstrakcyjne = tym szerzej zastosowalne
Hamming sformułował sprzeczny z intuicją twierdzenie: im bardziej abstrakcyjne narzędzie matematyczne, tym szerzej ma zastosowanie.
Matematyka konkretna: formuła na pole prostokąta. Zastosowanie do jednego kształtu.
Matematyka abstrakcyjna: algebra liniowa nad ciałem. Zastosowanie do mechaniki kwantowej, grafiki komputerowej, ekonomii, kompresji danych, analizy obwodów, statystyki — każdej domeny, gdzie pojawiają się wektory i transformacje liniowe.
Dlaczego? Abstrakcja usuwa zawartość specyficzną dla domeny, pozostawiając tylko strukturę. Dwa systemy z tą samą strukturą przestrzegają tych samych twierdzeń, nawet jeśli jeden dotyczy pól elektrycznych, a drugi rozkładów prawdopodobieństwa.
Matematyka uniwersalna: Hamming zauważył, że każda cywilizacja zdolna do komunikacji interstellarnej musi była opracować tę samą matematykę. Powód: matematyka wyprowadza swoje twierdzenia z aksjomatów poprzez logikę, a logika wydaje się uniwersalna. Liczba 7 jest pierwsza w każdej notacji, ponieważ pierwotność jest własnością strukturalną, a nie notacyjną.
Wartość abstrakcji
Historia matematyki zawiera wiele przykładów struktur abstrakcyjnych opracowanych bez żadnych zastosowań w umyśle, które później stały się niezbędnymi narzędziami w fizyce lub inżynierii.