Platońska matematyka
Hamming przeprowadził ankietę wśród pięciu głównych szkół myślowych dotyczących tego, co to jest matematyka. żadna z nich nie okazała się pełnowartościowa.
Najstarsza szkoła: platonizm. Plato argumentował, że świat idei - w tym obiekty matematyczne - jest bardziej rzeczywisty niż fizyczny świat. Obiekty fizyczne są nieperfekcyjnymi, tymczasowymi realizacjami doskonałych, niezmiennych form.
Zastosowanie do matematyki: liczba 7 nie jest cyfrą napisaną na kartce, nie siedem koni, nie siedem krzeseł. Abstrakcyjna liczba 7 istnieje w kręgu czystych idei. Nie ma w niej fizycznej realizacji. nigdy nie zobaczyłeś, nie usłyszałeś, nie dotknąłeś ani nie wyczułeś liczby 7 - tylko jej cienie w fizycznym świecie.
Kluczowe obserwacje Hamminga: niezależnie od notacji, 7 jest liczbą pierwszą. W systemie rzymskim (VII), w binarnym (111), w szesnastkowym (7) - pierwotność nie zależy od reprezentacji. To niezależność notacji jest dowodem na niezależne istnienie obiektów matematycznych, na który which Platonici się odnoszą.
Formalizm: Matematyka jako Manipulacja Symbolami
Szkola formalistyczna związana z Davidem Hilbertem, przyjmuje odwrotną pozycję. Matematyka to formalna gra: wybierz zestaw aksjomatów i reguł inferencji, a następnie wywodź teoremy mechanicznie, stosując reguły. Symbole nie mają znaczenia poza formalnym systemem.
W tej perspektywie matematyka jest wynaleziona, a nie odkryta. Różne systemy aksjomatów prowadzą do różnych matematyk. Geometria euklidesowa i nieeuklidesowa są obie wali - zaczynają od różnych aksjomatów.
Stanowisko Hamminga: zachowuje się jak platonik podczas wykonywania matematyki (czuje, że odkrywa prawdy istniejące wcześniej) ale podejrzewa, że formaliści mają rację co do podstaw (nie ma wiecznego kręgu, tylko grę formalną, którą wybieramy).
Praktyczny test Hamminga dla wyniku matematycznego: niezależnie od tego, która szkoła ma rację, twierdzenie udowodnione w ramach zgodnego formalnego systemu jest wiarygodne. Debatę filozoficzną nie wpływa na praktyczne zastosowanie wyników w inżynierii.
Matematyka i fizyczny świat
W 1960 roku fizyk Eugene Wigner opublikował esej o tytule 'Niezrównana skuteczność matematyki w naukach przyrodniczych'. Teza: matematyka rozwijana przez matematyków czystych wyłącznie z abstrakcyjnych powodów zaczyna doskonale opisywać rzeczywistość fizyczną.
Przykłady, które wymienił Hamming:
- Równania Maxwella: wywiedzione z czystej estetyki matematycznej i symetrii, opisały fale elektromagnetyczne - i właśnie prędkość światła - przed potwierdzeniem eksperymentalnym.
- Riemanowska geometria: rozwinięta przez Bernharda Riemanna w latach 50. XIX wieku jako czysta matematyka, bez jakiegokolwiek zastosowania fizycznego na myśli. Einsteina użył jej 60 lat później jako ramy matematycznej dla ogólnej teorii względności.
- Mechanika kwantowa: oparta na przestrzeniach Hilberta, algebrach operatorów i teorii grup - wszystko to zostało niezależnie rozwinięte przez matematyków z abstrakcyjnych powodów.
Dlaczego matematyka rozwijana w umyśle, wyłącznie dla estetycznych powodów, opisuje rzeczywistość fizyczną z taką precyzją? Oboje Platonistów i Formalistów nie mają zadowalającej odpowiedzi.
Ewaluacja Puzzle'a Wignera
Obserwacja Wignera jest zaskakująca, ale może być zakwestionowana. Nie wszystka matematyka, która jest rozwijana, okazuje się użyteczna - tylko ta, która kończy się opisaniem czegoś, przetrwa w historii fizyki. Może selektywny efekt robi prace.
Więcej Abstrakcyjne = Większe Zastosowanie W Szerokim Zakresie
Hamming zrobił nieintuicyjne twierdzenie: tym abstraktsyczniejsza narzędzie matematyczne, tym bardziej szeroko się zastosuje.
Konkretna matematyka: formula obszaru konkretnego prostokąta. Zastosowanie do jednego kształtu.
Abstrakcyjna matematyka: liniowa algebra nad ciałem. Zastosowanie do mechaniki kwantowej, komputerowej grafiki, ekonomii, kompresji danych, analizy obwodów, statystyki - w każdej dziedzinie, gdzie pojawiają się wektory i liniowe przekształcenia.
Dlaczego? Abstrakcja usuwa treści specyficzne dla dziedziny, pozostawiając tylko strukturę. Dwa systemy z tą samą strukturą przestrzegają tych samych twierdzeń, nawet jeśli jeden dotyczy pól elektrycznych, a drugi rozkładów prawdopodobieństwa.
Uniwersalna matematyka: Hamming zauważył, że jakakolwiek cywilizacja zdolna do komunikacji międzygwiezdnej musiała rozwinąć te same matematyki. Powód: matematyka wywodzi swoje twierdzenia z aksjomatów za pomocą logiki, a logika wydaje się uniwersalna. Liczba 7 jest pierwsza w każdej notacji, ponieważ pierwszość jest właściwością strukturalną, a nie notacyjną.
Wartość abstrakcji
Historia matematyki zawiera wiele przykładów abstrakcyjnych struktur rozwojowych bez zastosowań, które później stały się niezbędne narzędziami w fizyce lub inżynierii.