柏拉图数学
哈明调查了关于数学本质的五大主要思想流派。没有一个学派被证明完全令人满意。
最古老的学派：柏拉图主义。柏拉图论证，包括数学对象在内的理念世界比物理世界更加真实。物理对象是完美、不可变的理念的不完美、短暂的实例化。
应用于数学：数字7不是页面上写下的数字符号，不是七匹马，不是七把椅子。抽象的数字7存在于纯粹理念的领域。它没有物理实例化。你从未看过、听过、摸过或闻过数字7本身——只看到了它在物理世界中的影子。
哈明的关键观察：无论使用什么记号法，7都是质数。用罗马数字(VII)、二进制(111)、十六进制(7)表示——质数性不依赖于表示方法。这种符号无关性是柏拉图主义者指出的数学对象独立存在的证据。
形式主义：数学即符号操作
形式主义学派，与大卫·希尔伯特相关联，采取相反的立场。数学是一个形式游戏：选择一套公理和推理规则，然后通过机械地应用规则来推导定理。符号在形式系统之外没有意义。
从这个观点来看，数学是被发明的，而不是被发现的。不同的公理系统产生不同的数学。欧几里得几何和非欧几何都是有效的——它们从不同的公理开始。
哈明的立场：当他进行数学工作时，他的表现像一个柏拉图主义者（他感觉自己在发现先前存在的真理），但他怀疑形式主义者在基础上是对的（没有永恒的领域，只有我们选择玩的形式游戏）。
哈明对数学结果的实用检验：不管哪个学派是正确的，在一致的形式系统中证明的定理都是可靠的。哲学辩论不影响结果的工程价值。
数学与物理世界
1960年，物理学家尤金·韦格纳发表了一篇题为《数学在自然科学中的不可思议的有效性》的论文。论点是：由纯数学家因纯粹抽象的原因开发的数学一次又一次地以惊人的精确度描述物理现实。
哈明引用的例子：
- 麦克斯韦方程组：从纯粹数学优雅与对称性推导出来，它预测了电磁波——特别是光速——在任何实验验证之前。
- 黎曼几何：由伯恩哈德·黎曼在1850年代开发为纯粹数学，当时没有实际应用的想法。60年后，爱因斯坦将其用作广义相对论的数学框架。
- 量子力学：建立在希尔伯特空间、算子代数和群论上——都是由数学家独立为抽象的原因开发的。
为什么在心灵中开发的数学，出于纯粹的审美原因，应该以如此精确的方式描述物理现实？柏拉图主义者和形式主义者都没有完全令人满意的答案。
评估韦格纳的谜题
韦格纳的观察是引人注目的，但它可以受到质疑。并非所有开发的数学都被证明是有用的——只有最终描述某事物的数学才在物理学史中存活下来。也许选择效应正在发挥作用。
更抽象=更广泛适用
哈明做了一个反直觉的声称：数学工具越抽象，它适用的范围就越广。
具体数学：特定矩形面积的公式。应用于一个形状。
抽象数学：域上的线性代数。适用于量子力学、计算机图形学、经济学、数据压缩、电路分析、统计学——任何出现向量和线性变换的领域。
为什么？抽象去除了特定领域的内容，只留下结构。两个具有相同结构的系统遵守相同的定理，即使一个涉及电场，另一个涉及概率分布。
通用数学：哈明注意到任何能够进行星际通信的文明必定会开发出相同的数学。原因：数学从公理通过逻辑推导其定理，而逻辑似乎是通用的。数字7在任何记号法中都是质数，因为质数性是一个结构特性，不是一个记号特性。
抽象的价值
数学史包含许多例子，其中抽象结构最初被开发时没有任何应用目的，后来成为物理学或工程学中的基本工具。