플라톤적 수학
해밍은 수학이 무엇인가에 대한 다섯 가지 주요 사상 학파를 조사했다. 어느 것도 완전히 만족스러운 것으로 입증되지 않았다.
가장 오래된 학파: 플라톤주의. 플라톤은 아이디어의 세계(수학적 대상 포함)가 물리적 세계보다 더 실재한다고 주장했다. 물리적 대상들은 완벽하고 불변하는 형태의 불완전하고 일시적인 실현이다.
수학에 적용하면: 숫자 7은 페이지에 쓰인 기호가 아니고, 일곱 마리의 말도 아니고, 일곱 개의 의자도 아니다. 추상적인 숫자 7은 순수 아이디어의 영역에 존재한다. 그것은 물리적 실현을 갖지 않는다. 당신은 숫자 7 자체를 본 적도, 들은 적도, 만져본 적도, 냄새를 맡은 적도 없다 — 오직 물리적 세계에서 그것의 그림자만 경험했을 뿐이다.
해밍의 핵심 관찰: 기호 표기법에 관계없이 7은 소수이다. 로마 숫자(VII), 이진법(111), 16진법(7) — 소수성은 표현에 의존하지 않는다. 이 기호 표기 독립성이 플라톤주의자들이 수학적 대상의 독립적 존재의 증거로 지적하는 것이다.
형식주의: 기호 조작으로서의 수학
형식주의 학파는 다비트 힐베르트와 관련이 있다. 수학은 형식적 게임이다: 공리 집합과 추론 규칙을 선택하고, 규칙들을 기계적으로 적용하여 정리들을 유도한다. 기호들은 형식 체계 밖에서는 의미를 갖지 않는다.
이 관점에서 수학은 발견되는 것이 아니라 발명되는 것이다. 다양한 공리 체계는 다양한 수학을 산출한다. 유클리드 기하학과 비유클리드 기하학은 모두 유효하다 — 그들은 서로 다른 공리에서 시작한다.
해밍의 입장: 수학을 할 때 그는 플라톤주의자처럼 행동한다(그는 미리 존재하는 진리를 발견하고 있다고 느낀다) 하지만 기초에 대해서는 형식주의자들이 옳다고 의심한다(영원한 영역은 없고, 우리가 선택하기로 한 형식적 게임만 있을 뿐이다).
해밍의 실질적인 수학적 결과에 대한 테스트: 어느 학파가 옳은지에 관계없이, 일관된 형식 체계 내에서 증명된 정리는 신뢰할 수 있다. 철학적 논쟁은 결과의 공학적 가치에 영향을 주지 않는다.
수학과 물리적 세계
1960년 물리학자 유진 위그너는 '자연 과학에서의 수학의 설명할 수 없는 유효성'이라는 제목의 논문을 발표했다. 그 논문의 주장: 순수 수학자들이 순수하게 추상적인 이유로 개발한 수학이 물리적 실재를 불가사의한 정확도로 기술하는 경향이 있다는 것이다.
해밍이 인용한 예시:
- 맥스웰 방정식: 순수 수학적 우아함 & 대칭으로부터 유도되어, 어떤 실험 검증보다도 먼저 전자기파를 — 구체적으로, 광속을 — 예측했다.
- 리만 기하학: 1850년대 베르나르트 리만에 의해 순수 수학으로 개발되었으며, 물리적 적용이 전혀 염두에 없었다. 아인슈타인은 60년 후 그것을 일반 상대성 이론의 수학적 틀로 사용했다.
- 양자 역학: 힐베르트 공간, 작용소 대수, & 군론에 기초하고 있으며 — 모두 추상적인 이유로 수학자들에 의해 독립적으로 개발되었다.
왜 마음에서 개발되었고, 순수하게 미적 이유로 개발된 수학이 물리적 실재를 그렇게 정확하게 기술할까? 플라톤주의자나 형식주의자 모두 완전히 만족스러운 답을 갖지 못했다.
위그너의 수수께끼 평가하기
위그너의 관찰은 놀랍지만, 이의를 제기할 수 있다. 개발된 모든 수학이 유용해 보이는 것은 아니다 — 물리학에서 뭔가를 기술하는 것으로 끝나는 수학만이 물리학 역사에서 살아남는다. 아마도 선택 효과가 작용을 하고 있을 것이다.
더 추상적일수록 더 광범위하게 적용 가능
해밍은 역직관적인 주장을 했다: 수학적 도구가 더 추상적일수록, 더 광범위하게 적용된다.
구체적인 수학: 특정 직사각형의 넓이 공식. 하나의 도형에 적용된다.
추상적인 수학: 체 위의 선형대수. 양자 역학, 컴퓨터 그래픽, 경제학, 데이터 압축, 회로 분석, 통계학 — 벡터와 선형 변환이 나타나는 모든 영역에 적용된다.
왜 그럴까? 추상화는 영역 고유의 내용을 제거하고, 구조만 남긴다. 같은 구조를 가진 두 체계는 한 체계가 전기장을 포함하고 다른 체계가 확률 분포를 포함하더라도 같은 정리들을 따른다.
보편적 수학: 해밍은 별 사이 통신이 가능한 모든 문명이 같은 수학을 개발했을 것이라고 지적했다. 이유: 수학은 공리로부터 논리를 통해 정리를 유도하며, 논리는 보편적인 것처럼 보인다. 숫자 7은 어떤 기호 표기에서든 소수이다. 왜냐하면 소수성은 기호 표기가 아닌 구조적 성질이기 때문이다.
추상화의 가치
수학 역사는 추상적 구조가 실제로는 적용을 염두에 두고 개발되었으나 나중에 물리학이나 공학의 필수 도구가 되어버린 많은 사례들로 가득하다.