Matematika Platonik
Hamming meninjau lima sekolah pemikiran utama tentang apa itu matematika. Tidak satupun yang terbukti sepenuhnya memuaskan.
Sekolah tertua: Platonisme. Plato berpendapat bahwa dunia ide — termasuk objek matematika — lebih nyata daripada dunia fisik. Objek fisik adalah instansiasi yang tidak sempurna dan sementara dari bentuk yang sempurna dan tidak dapat berubah.
Diterapkan pada matematika: angka 7 bukan angka yang ditulis di halaman, bukan tujuh kuda, bukan tujuh kursi. Angka abstrak 7 ada di alam ide murni. Itu tidak memiliki instansiasi fisik. Anda tidak pernah melihat, mendengar, menyentuh, atau mencium angka 7 itu sendiri — hanya bayangannya di dunia fisik.
Pengamatan kunci Hamming: terlepas dari notasi, 7 adalah bilangan prima. Dalam angka Romawi (VII), dalam biner (111), dalam heksadesimal (7) — keprimaan tidak bergantung pada representasinya. Ini kemandirian notasi adalah apa yang ditunjukkan Platonisme sebagai bukti keberadaan independen dari objek matematika.
Formalisme: Matematika sebagai Manipulasi Simbol
Sekolah Formalisme, yang terkait dengan David Hilbert, mengambil posisi yang berlawanan. Matematika adalah permainan formal: pilih serangkaian aksioma dan aturan inferensi, kemudian turunkan teorema dengan menerapkan aturan secara mekanis. Simbol tidak memiliki makna di luar sistem formal.
Dalam pandangan ini, matematika diciptakan, bukan ditemukan. Sistem aksioma yang berbeda menghasilkan matematika yang berbeda. Geometri Euclidean dan geometri non-Euclidean keduanya valid — mereka dimulai dari aksioma yang berbeda.
Posisi Hamming: dia bertindak seperti seorang Platonist ketika melakukan matematika (dia merasa dia menemukan kebenaran yang sudah ada sebelumnya) tetapi mencurigai bahwa Formalis benar tentang fondasinya (tidak ada kerajaan abadi, hanya permainan formal yang kami pilih untuk dimainkan).
Tes praktis Hamming untuk hasil matematika: terlepas dari sekolah mana yang benar, teorema yang terbukti dalam sistem formal yang konsisten dapat diandalkan. Perdebatan filosofis tidak mempengaruhi nilai teknik dari hasilnya.
Matematika dan Dunia Fisik
Pada tahun 1960, fisikawan Eugene Wigner menerbitkan esai berjudul 'Keefektifan yang Tidak Masuk Akal dari Matematika dalam Ilmu Pengetahuan Alam.' Tesis: matematika yang dikembangkan oleh matematikawan murni untuk alasan yang murni abstrak ternyata menggambarkan realitas fisik dengan presisi yang aneh.
Contoh yang dikutip Hamming:
- Persamaan Maxwell: diturunkan dari keanggunan dan simetri matematika murni, mereka memprediksi gelombang elektromagnetik — dan secara spesifik, kecepatan cahaya — sebelum verifikasi eksperimental apa pun.
- Geometri Riemannian: dikembangkan oleh Bernhard Riemann pada tahun 1850-an sebagai matematika murni, tanpa aplikasi fisik dalam pikiran. Einstein menggunakannya 60 tahun kemudian sebagai kerangka kerja matematika untuk relativitas umum.
- Mekanika kuantum: dibangun di atas ruang Hilbert, aljabar operator, dan teori grup — semua dikembangkan secara independen oleh matematikawan untuk alasan abstrak.
Mengapa matematika yang dikembangkan dalam pikiran, untuk alasan yang murni estetis, harus menggambarkan realitas fisik dengan presisi begitu tinggi? Baik Platonist maupun Formalis tidak memiliki jawaban yang sepenuhnya memuaskan.
Mengevaluasi Teka-teki Wigner
Pengamatan Wigner mencolok, tetapi dapat dipertanyakan. Tidak semua matematika yang dikembangkan ternyata berguna — hanya matematika yang akhirnya menggambarkan sesuatu yang bertahan dalam sejarah fisika. Mungkin efek seleksi yang melakukan pekerjaan itu.
Lebih Abstrak = Lebih Luas Berlaku
Hamming membuat klaim yang kontraintuitif: semakin abstrak alat matematika, semakin luas penerapannya.
Matematika konkret: formula untuk luas persegi panjang tertentu. Berlaku untuk satu bentuk.
Matematika abstrak: aljabar linier di atas suatu bidang. Berlaku untuk mekanika kuantum, grafis komputer, ekonomi, kompresi data, analisis sirkuit, statistik — domain apa pun di mana vektor dan transformasi linier muncul.
Mengapa? Abstraksi menghilangkan konten khusus domain, meninggalkan hanya struktur. Dua sistem dengan struktur yang sama mematuhi teorema yang sama, meskipun salah satunya melibatkan medan listrik dan yang lain melibatkan distribusi probabilitas.
Matematika universal: Hamming mencatat bahwa setiap peradaban yang mampu komunikasi antarbintang harus telah mengembangkan matematika yang sama. Alasannya: matematika menurunkan teoremanya dari aksioma melalui logika, dan logika tampak universal. Angka 7 adalah bilangan prima dalam notasi apa pun karena keprimaan adalah properti struktural, bukan notasi.
Nilai Abstraksi
Sejarah matematika berisi banyak contoh struktur abstrak yang dikembangkan tanpa aplikasi dalam pikiran yang kemudian menjadi alat penting dalam fisika atau teknik.