პლატონური მათემატიკა
ჰამინგი შეისწავლა ხუთი ძირითადი აზროვნების სკოლა იმის შესახებ, რა არის მათემატიკა. არცერთი მათ სრულად დამაკმაყოფილებელი აღმოჩნდა.
უძველესი სკოლა: პლატონიზმი. პლატონი ამტკიცებდა, რომ იდეების სამყარო — მათ შორის მათემატიკური ობიექტები — უფრო რეალურია, ვიდრე ფიზიკური სამყარო. ფიზიკური ობიექტები იდეალური, უცვლელი ფორმების არასრულ, დროებით გამოვლენაა.
მათემატიკაზე გამოყენებული: რიცხვი 7 არ არის გვერდზე დაწერილი ციფრი, არ არის შვიდი ცხენი, არ არის შვიდი სკამი. აბსტრაქტული რიცხვი 7 არსებობს წმინდა იდეების სამეფოში. მას არ აქვს ფიზიკური გამოვლენა. თქვენ არასოდეს დაინახეთ, დაიკრათ, შეხებული ან ნახმელი რიცხვი 7 თავად — მხოლოდ მის ჩრდილები ფიზიკურ სამყაროში.
ჰამინგის ძირითადი დაკვირვება: აღნიშვნის მიუხედავად, 7 არის მარტივი რიცხვი. რომაული ციფრებში (VII), ორობითში (111), თექვსმეტობითში (7) — მარტივობა არ არის დამოკიდებული წარმოდგენაზე. ეს აღნიშვნის დამოუკიდებლობა არის ის, რაზე მითითებენ პლატონელები, როგორც მათემატიკური ობიექტების დამოუკიდებელი არსებობის მტკიცებულება.
ფორმალიზმი: მათემატიკა, როგორც სიმბოლოების მანიპულაცია
ფორმალისტური სკოლა, რომელიც დავით ჰილბერტთან ასოცირდება, საპირისპირო პოზიცია იკავებს. მათემატიკა არის ფორმალური თამაში: აირჩიეთ აქსიომების და დასკვნის წესების ნაკრები, შემდეგ გამოიტანეთ თეორემები წესების მექანიკური გამოყენებით. სიმბოლოებს არ აქვთ მნიშვნელობა ფორმალური სისტემის გარეთ.
ამ მხედელობით, მათემატიკა არის გამოგონებული, არა აღმოჩენილი. სხვადსხვა აქსიომური სისტემა ქმნის სხვადსხვა მათემატიკას. ევკლიდური გეომეტრია და არა-ევკლიდური გეომეტრია ორივე მართებული არის — ისინი განსხვავებული აქსიომებიდან იწყებიან.
ჰამინგის პოზიცია: მათემატიკის შესრულებისას იგი მოქმედებს, როგორც პლატონელი (აგრძნობს, რომ აღმოაჩენს წინასწარ-არსებულ სიმართეებს), მაგრამ ეჭვობს, რომ ფორმალისტები სწორი არიან საფუძვლების შესახებ (არ არსებობს მარადიული სამეფო, მხოლოდ ის ფორმალური თამაში, რომელიც ჩვენ ვირჩევთ დაკვდეს).
ჰამინგის პრაქტიკული ტესტი მათემატიკური შედეგისთვის: რომელი სკოლა სწორი რომ იყოს, თეორემა, რომელიც დამტკიცებული ყოფილა თანმიმდევრული ფორმალური სისტემში, საიმედოა. ფილოსოფიური დებატი არ უდებს სხვა ფერს შედეგის საინჟინრო ღირებულებას.
მათემატიკა & ფიზიკური სამყარო
1960 წელს ფიზიკოსმა ევგენი ვიგნერმა გამოაქვეყნა ნაშრომი, რომელსაც სახელი ჰქონდა 'მათემატიკის აბსურდული ეფექტიანობა ბუნებრივ მეცნიერებებში'. თეზისი: მხოლოდ მათემატიკოსებმა განვითარებული მათემატიკა სრულიად აბსტრაქტული მიზეზების გამო, უცნაურად სიმტკიცით აღმოჩნდა აღწერს ფიზიკურ რეალობას.
მაგალითები, რომელიც ჰამინგი ციტირებს:
- მაქსველის განტოლებები: უფრო სწორედ წმინდა მათემატიკური ელეგანტურობით & სიმეტრია, ისინი ნუგეშინებით გა გ აბსოლუტურად აკმაყოფილებული მეტაფიზიკური ტალღები — & კერძოდ, სინათლის სიჩქარე — რომელიმე ექსპერიმენტული გადამოწმების წინ.
- რიმანის გეომეტრია: 1850 წელს განვითარებული ბერნჰარდ რიმანის მიერ როგორც წმინდა მათემატიკა, არ მსურდა რაიმე ფიზიკური მიმართვა. ალბერტ აინშტაინი გამოიყენა ის 60 წლის შემდეგ, როგორც მათემატიკური ფარგლები ზოგადი ფარდობითობისთვის.
- კვანტური მექანიკა: აგებული ჰილბერტის სივრცეებზე, ოპერატორის ალგებრებზე, და ჯგუფის თეორიაზე — ყველა დამოუკიდებლად განვითარებული მათემატიკოსებმა აბსტრაქტული მიზეზების გამო.
რატომ გრაფიკული მხოლოდ გონებაში განვითარებული მათემატიკა სრულიად ესთეტიკური მიზეზების გამო აღმოჩნდა აღწერს ფიზიკურ რეალობას ასე სიმტკიცით? პლატონელები თუ ფორმალისტები, არცერთი სრულად დამაკმაყოფილებელი პასუხი აქვთ.
ვიგნერის თავსატეხის შეფასება
ვიგნერის დაკვირვება ჩაკვლია, მაგრამ შეიძლება ეჭვი გაკვეთილი. არა ყველა მათემატიკა, რომელიც განვითარდა აღმოჩნდა კოსმოსური — მხოლოდ მათემატიკა, რომელიც აღმოჩნდა აღწერს რაიმე ფიზიკაში გადის უკან. შესაძლოა, აირჩევის ეფექტი აკეთებს სამუშაოს.
უფრო აბსტრაქტული = უფრო ფართოდ გამოყენებული
ჰამინგი გაკეთო აკმაყოფილებელი მტკიცება: რაც უფრო აბსტრაქტული მათემატიკური ხელსაწყო, მით უფრო ფართოდ ის გამოიყენება.
კონკრეტული მათემატიკა: კონკრეტული მართკუთხედის ფართობის ფორმულა. გამოიყენება რომ ერთი სწორი.
აბსტრაქტული მათემატიკა: წრფივი ალგებრა ველის ზე. გამოიყენება კვანტურ მექანიკაში, კომპიუტერის გრაფიკაში, ეკონომიკაში, მონაცემთა შეკუმშვაში, სქემის ანალიზში, სტატისტიკაში — ნებისმიერი დომენი სადაც ვექტორები & წრფივი ტრანსფორმაცია წარმოიშობა.
რატომ? აბსტრაქცია ამოკლებს დომენ-სპეციფიკური შინაარსი, ტოვებს მხოლოდ სტრუქტურა. ორი სისტემა იგივე სტრუქტურა აკეთებს უთუოდ ეშ თეორემებს, თუნდაც ერთი მოიცავს ელექტრული ველები & სხვა მოიცავს ალბათობის განაწილება.
უნივერსალური მათემატიკა: ჰამინგი აღმოაჩინა, რომ ნებისმიერი ცივილიზაცია სამეზობლო ყველა ზღვრით კომუნიკაციისთვის განათლებული აკეთებული იგივე მათემატიკა. მიზეზი: მათემატიკა გამოიზოდება მისი თეორემები აქსიომებიდან ლოგიკის საშუალებით, & ლოგიკა აჩნდება უნივერსალური. რიცხვი 7 არის მარტივი ნებისმიერი აღნიშვნაში რადგან მარტივობა არის სტრუქტურული თვისება, არა აღნიშვნის ერთი.
აბსტრაქციის ღირებულება
მათემატიკის ისტორია შეიცავს ბევრი მაგალითი აბსტრაქტული სტრუქტურა განვითარებული აღარ მიზნით იყო მხარი გახდა შემდეგ საჭირო ხელსაწყოები ფიზიკაში & საინჟინრო.