Platonische wiskunde
Hamming onderzocht vijf hoofdscholen van gedachten over wat wiskunde is. Geen ervan bleek volledig bevredigend.
De oudste school: Platonisme. Plato betoogde dat de wereld van ideeën — inclusief wiskundige objecten — werkelijker is dan de fysieke wereld. Fysieke objecten zijn onvolmaakte, tijdelijke verschijningen van volmaakte, onveranderlijke vormen.
Toegepast op wiskunde: het getal 7 is niet het cijfer geschreven op een pagina, niet zeven paarden, niet zeven stoelen. Het abstracte getal 7 bestaat in een rijk van zuivere ideeën. Het heeft geen fysieke verschijning. Je hebt het getal 7 zelf nooit gezien, gehoord, aangeraakt, of geroken — alleen zijn schaduwen in de fysieke wereld.
Hammings belangrijkste observatie: ongeacht de notatie is 7 priemgetal. In Romeinse cijfers (VII), in binair (111), in hexadecimaal (7) — het priemzijn hangt niet af van de representatie. Deze notatie-onafhankelijkheid is waar Platonisten naar wijzen als bewijs voor het onafhankelijk bestaan van wiskundige objecten.
Formalisme: wiskunde als symboolmanipulatie
De Formalistische school, geassocieerd met David Hilbert, neemt het tegengestelde standpunt in. Wiskunde is een formeel spel: kies een reeks axioma's en afleidingsregels, en leid dan stellingen af door de regels mechanisch toe te passen. De symbolen hebben geen betekenis buiten het formele systeem.
Volgens dit gezichtspunt wordt wiskunde uitgevonden, niet ontdekt. Verschillende axiomasystemen produceren verschillende wiskunde. Euclidische meetkunde en niet-Euclidische meetkunde zijn beide geldig — ze beginnen met verschillende axioma's.
Hammings positie: hij gedraagt zich als Platonist wanneer hij wiskunde doet (hij voelt dat hij al bestaande waarheden ontdekt) maar verdenkt de Formalisten ervan dat zij gelijk hebben over de fundamenten (er is geen eeuwig rijk, alleen het formele spel dat wij kiezen om te spelen).
Hammings praktische test voor een wiskundig resultaat: ongeacht welke school gelijk heeft, is een stelling die binnen een consistent formeel systeem is bewezen, betrouwbaar. Het filosofische debat heeft geen invloed op de technische waarde van het resultaat.
Wiskunde en de fysieke wereld
In 1960 publiceerde fysicus Eugene Wigner een essay getiteld 'The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences'. De stelling: wiskunde die door zuivere wiskundigen voor puur abstracte redenen is ontwikkeld, blijkt steeds weer fysieke werkelijkheid met opmerkelijke precisie te beschrijven.
Voorbeelden die Hamming aanhaalde:
- Maxwells vergelijkingen: afgeleid uit zuivere wiskundige elegantie & symmetrie, voorspelden zij elektromagnetische golven — en specifiek de snelheid van licht — voordat enige experimentele verificatie.
- Riemann-meetkunde: ontwikkeld door Bernhard Riemann in de jaren 1850 als zuivere wiskunde, zonder enige fysieke toepassing in gedachten. Einstein gebruikte het 60 jaar later als wiskundig raamwerk voor algemene relativiteit.
- Kwantummechanica: gebaseerd op Hilbert-ruimten, operator-algebra's en groepentheorie — allemaal onafhankelijk door wiskundigen voor abstracte redenen ontwikkeld.
Waarom zou wiskunde, in de geest ontwikkeld voor zuiver esthetische redenen, fysieke werkelijkheid zo nauwkeurig beschrijven? Noch Platonisten noch Formalisten hebben een volledig bevredigend antwoord.
Wigners raadsel evalueren
Wigners observatie is treffend, maar kan in twijfel worden getrokken. Niet alle wiskunde die wordt ontwikkeld blijkt nuttig te zijn — alleen de wiskunde die uiteindelijk iets beschrijft overleeft in de geschiedenis van de natuurkunde. Misschien doet het selectie-effect het werk.
Meer abstract = breder toepasbaar
Hamming deed een contra-intuïtieve bewering: hoe abstracter een wiskundig gereedschap, hoe breder het toepasbaar is.
Concrete wiskunde: de formule voor de oppervlakte van een specifieke rechthoek. Van toepassing op één vorm.
Abstracte wiskunde: lineaire algebra over een lichaam. Van toepassing op kwantummechanica, computergraphics, economie, gegevenscompressie, schakelinganalyse, statistieken — elk domein waar vectoren en lineaire transformaties ontstaan.
Waarom? Abstractie verwijdert domeinspecifieke inhoud en laat alleen structuur achter. Twee systemen met dezelfde structuur gehoorzamen aan dezelfde stellingen, zelfs als het ene elektrische velden inhoudt en het andere waarschijnlijkheidsverdelingen.
Universele wiskunde: Hamming merkte op dat elke beschaving die tot interstellaire communicatie in staat is, dezelfde wiskunde moet hebben ontwikkeld. De reden: wiskunde leidt haar stellingen af uit axioma's via logica, en logica lijkt universeel. Het getal 7 is in elke notatie priemgetal omdat het priemzijn een structurele eigenschap is, geen notationele.
De waarde van abstractie
De geschiedenis van wiskunde bevat veel voorbeelden van abstracte structuren die zonder toepassing in gedachten zijn ontwikkeld en later essentiële hulpmiddelen in natuurkunde of techniek werden.