e^{i2πf} 描繪單位圓
複數指數函數 e^{iθ} 位於複平面的單位圓上。當 θ 增加時，該點逆時針旋轉。
對於在整數時間 n = 0, 1, 2, … 採樣的數位濾波器，特徵函數 e^{i2πfn} 在每個樣本處繞圓周旋轉 2πf 的角度。
頻率作為旋轉速率：f 測量每個樣本發生多少完整旋轉。
- f = 0：無旋轉；點停留在 (1, 0)
- f = 1/4：每步四分之一旋轉
- f = 1/2：每步半旋轉（奈奎斯特頻率）
- f = 1：每步完整旋轉—無法與 f = 0 區分
最後這點幾何上包含了整個混疊故事。
為什麼是單位圓
單位圓是集合 {z : |z| = 1}。在單位圓上評估 Z 變換 H(z)—設定 z = e^{i2πf}—給出頻率響應 H(f)。單位圓是離散時間穩定性 & 頻率分析相遇的邊界。
角度 & 頻率
每個頻率 f 對應於每個樣本 θ = 2πf 弧度的角度。不同頻率的完整範圍跨越一個完整旋轉：f ∈ [0, 1) 或等價地 θ ∈ [0, 2π)。
在奈奎斯特頻率 f = 1/2 處，每個樣本前進恰好 π 弧度—半個旋轉。
混疊的幾何圖像
單位圓的周長為 2π。完整旋轉對應於頻率 f = 1（每樣本一個完整週期）。採樣信號中的不同頻率恰好佔據一個旋轉。
在 f = 1/2 + δ 時會發生什麼？每樣本的旋轉 = 2π(1/2 + δ) = π + 2πδ。在 k 個樣本後，角度 = k(π + 2πδ)。但角度 π + 2πδ 在幾何上等同於 −π + 2πδ，這對應於頻率 f = 1/2 − δ 的旋轉。
混疊是圓上的模運算。 高於奈奎斯特頻率的頻率會環繞。圓對它們來自哪個方向沒有記憶。
採樣定理說：留在半圓 [0, π) 內。採樣速度足夠快，使得信號永遠不會到達另一半。抗混疊濾波器在信號到達採樣器之前強制執行此邊界。
幾何計算混疊
頻率 f 在採樣速率 f_s 下的混疊出現在 |f − round(f / f_s) · f_s|—到最近的 f_s 倍數的距離，表示為分數。
對於 f_s = 1（標準化）：f ∈ (1/2, 1) 的 f 的混疊 = 1 − f。這是 f 關於奈奎斯特點 f = 1/2 的反射。
幾何上：f & 1 − f 在單位圓上位於鏡像位置，距 π 軸的距離相等。
幅度響應作為距離乘積
對於具有零點 z_1, z_2, … 和極點 p_1, p_2, … 的傳遞函數 H(z)：
|H(f)| = (∏ |e^{i2πf} − z_k|) / (∏ |e^{i2πf} − p_k|)
這是從極點零點圖直接讀取頻率響應的圖形方法。
規則：
- 單位圓上的零點在該頻率處產生完美的無聲。
- 單位圓附近的極點在響應中產生峰值。
- 單位圓附近（但不在其上）的零點產生凹陷，不是無聲。
- 單位圓內的極點使濾波器保持穩定。
Z 平面幾何視覺上編碼整個濾波器行為。工程師在計算係數之前繪製極點零點圖。