e^{i2πf} Vạch vòng tròn đơn vị
Một hàm mũ phức e^{iθ} nằm trên vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng phức. Khi θ tăng lên, điểm xoay ngược chiều kim đồng hồ.
Đối với bộ lọc kỹ thuật số được lấy mẫu tại các thời điểm nguyên n = 0, 1, 2, …, hàm riêng e^{i2πfn} tạo một bước góc 2πf xung quanh vòng tròn ở mỗi mẫu.
Tần số như tốc độ quay: f đo lường bao nhiêu phần của một vòng quay đầy đủ xảy ra trên mỗi mẫu.
- f = 0: không quay; điểm ở lại (1, 0)
- f = 1/4: quay một phần tư mỗi bước
- f = 1/2: quay nửa mỗi bước (tần số Nyquist)
- f = 1: quay đầy đủ mỗi bước — không thể phân biệt với f = 0
Điểm cuối cùng này chứa toàn bộ câu chuyện tạp âm một cách hình học.
Tại sao là vòng tròn đơn vị
Vòng tròn đơn vị là tập hợp {z : |z| = 1}. Đánh giá phép biến đổi Z H(z) trên vòng tròn đơn vị — đặt z = e^{i2πf} — cung cấp phản ứng tần số H(f). Vòng tròn đơn vị là ranh giới nơi sự ổn định thời gian rời rạc & phân tích tần số gặp nhau.
Góc & Tần số
Mỗi tần số f tương ứng với một góc θ = 2πf radian trên mỗi mẫu. Phạm vi đầy đủ của các tần số riêng biệt bao trùm một vòng quay đầy đủ: f ∈ [0, 1) hoặc tương đương θ ∈ [0, 2π).
Ở tần số Nyquist f = 1/2, mỗi mẫu tiến chính xác π radian — nửa vòng quay.
Bức tranh hình học của tạp âm
Vòng tròn đơn vị có chu vi 2π. Một vòng quay đầy đủ tương ứng với tần số f = 1 (một chu kỳ đầy đủ trên mỗi mẫu). Các tần số riêng biệt trong một tín hiệu được lấy mẫu chiếm chính xác một vòng quay.
Điều gì xảy ra tại f = 1/2 + δ? Phép quay trên mỗi mẫu = 2π(1/2 + δ) = π + 2πδ. Sau k mẫu, góc = k(π + 2πδ). Nhưng góc π + 2πδ về mặt hình học giống hệt −π + 2πδ, tương ứng với phép quay của tần số f = 1/2 − δ.
Tạp âm là số học mô-đun trên vòng tròn. Các tần số trên tần số Nyquist quấn vòng. Vòng tròn không có bộ nhớ về hướng nào chúng đến.
Định lý lấy mẫu nói: ở lại trong nửa vòng tròn [0, π). Lấy mẫu đủ nhanh để tín hiệu của bạn không bao giờ đạt đến nửa còn lại. Các bộ lọc chống tạp âm thực thi ranh giới này trước khi tín hiệu đạt đến bộ lấy mẫu.
Tính toán các bí danh hình học
Bí danh của tần số f dưới tốc độ lấy mẫu f_s xuất hiện tại |f − round(f / f_s) · f_s| — khoảng cách đến bội số gần nhất của f_s, được biểu thị dưới dạng phân số.
Đối với f_s = 1 (chuẩn hóa): bí danh của f = 1 − f đối với f ∈ (1/2, 1). Đây là sự phản chiếu của f về điểm Nyquist f = 1/2.
Hình học: f & 1 − f nằm ở các vị trí đối xứng trên vòng tròn đơn vị, cách đều trục π.
Phản ứng độ lớn như tích khoảng cách
Đối với hàm truyền H(z) với các điểm không z_1, z_2, … và các cực p_1, p_2, …:
|H(f)| = (∏ |e^{i2πf} − z_k|) / (∏ |e^{i2πf} − p_k|)
Đây là phương pháp đồ họa để đọc phản ứng tần số trực tiếp từ biểu đồ cực-điểm không.
Quy tắc:
- Một điểm không TRÊN vòng tròn đơn vị tạo ra một điểm vô hiệu hoàn hảo ở tần số đó.
- Một cực GẦN vòng tròn đơn vị tạo ra một đỉnh trong phản ứng.
- Một điểm không gần vòng tròn đơn vị (nhưng không phải trên nó) tạo ra một suy suynh, không phải một điểm vô hiệu.
- Các cực BÊN TRONG vòng tròn đơn vị giữ cho bộ lọc ổn định.
Hình học mặt phẳng Z mã hóa toàn bộ hành vi bộ lọc về mặt trực quan. Các kỹ sư vẽ các biểu đồ cực-điểm không trước khi tính toán các hệ số.