e^{i2πf} Zeichnet den Einheitskreis
Eine komplexe Exponentialfunktion e^{iθ} lebt auf dem Einheitskreis im komplexen Raum. Wenn θ sich erhöht, dreht sich der Punkt im Uhrzeigersinn.
Für ein digitales Filter, das bei ganzen Zeiten n = 0, 1, 2, ... abgesampled wird, nimmt die Eigenfunktion e^{i2πfn} einen Schritt von Winkel 2πf um den Kreis herum.
Frequenz als Drehgeschwindigkeit: f misst, wie viel einer vollständigen Revolution pro Stück erfolgt.
- f = 0: keine Drehung; Punkt bleibt bei (1, 0)
- f = 1/4: Vierteldrehung pro Schritt
- f = 1/2: Halbdrehung pro Schritt (Nyquist-Frequenz)
- f = 1: vollständige Drehung pro Schritt - ununterscheidbar von f = 0
Dieser letzte Punkt enthält die gesamte Aliasing-Geschichte geometrisch.
Warum der Einheitskreis
Der Einheitskreis ist die Menge {z : |z| = 1}. Die Bewertung der Z-Transformation H(z) auf dem Einheitskreis - indem z = e^{i2πf} gesetzt wird - gibt die Frequenzantwort H(f) her. Der Einheitskreis ist die Grenze, an der diskrete Zeitschwerpunktstabilität und Frequenzanalyse zusammentreffen.
Winkel & Frequenzen
Jede Frequenz f entspricht einem Winkel θ = 2πf Radianten pro Stück. Der gesamte Bereich der eindeutigen Frequenzen erstreckt sich über eine vollständige Revolution: f ∈ [0, 1) oder äquivalent θ ∈ [0, 2π).
Bei der Nyquist-Frequenz f = 1/2 bewegt sich jeder Punkt genau um π Radianten - die Hälfte einer Revolution.
Das geometrische Bild der Aliasung
Der Einheitskreis hat einen Umfang von 2π. Ein vollständiger Kreisverlauf entspricht einer Frequenz von f = 1 (eine volle Periode pro Probe). Die verschiedenen Frequenzen in einem abgetasteten Signal nehmen genau einen Kreislauf ein.
Was passiert bei f = 1/2 + δ? Die Drehung pro Probe = 2π(1/2 + δ) = π + 2πδ. Nach k Proben beträgt der Winkel k(π + 2πδ). Aber der Winkel π + 2πδ ist geometrisch identisch mit −π + 2πδ, was der Drehung der Frequenz f = 1/2 − δ entspricht.
Die Aliasung ist eine modulare Arithmetik auf dem Kreis. Frequenzen oberhalb der Nyquist-Frequenz rollen herum. Der Kreis hat keine Erinnerung daran, von welcher Seite sie gekommen sind.
Die Abtastformel sagt aus: Bleib im Halbkreis [0, π). Abtaste so schnell, dass dein Signal nie den anderen Halbkreis erreicht. Antialias-Filter setzen diesen Grenzverlauf vor dem Signal den Abtaster erreicht, ein.
Rechnerische Berechnung von Aliasfrequenzen
Die Aliasfrequenz von f unter einer Abtastfrequenz f_s tritt bei |f − round(f / f_s) · f_s| auf - der Abstand zum nächsten Vielfachen von f_s, ausgedrückt als Bruch.
Für f_s = 1 (normalisiert): Alias von f = 1 − f für f ∈ (1/2, 1). Dies ist die Spiegelung von f um den Nyquist-Punkt f = 1/2.
Geometrisch: f & 1 − f befinden sich in spiegelbildlichen Positionen auf dem Einheitskreis, gleich weit entfernt von der π-Achse.
Betrag der Frequenzantwort als Distanzprodukt
Für eine Übertragungsfunktion H(z) mit Nullstellen z_1, z_2, ... und Polen p_1, p_2, ...:
|H(f)| = (∏ |e^{i2πf} - z_k|) / (∏ |e^{i2πf} - p_k|)
Dies ist die graphische Methode zur Lesung der Frequenzantwort direkt von der Pol-Nullstellen-Plot.
Regeln:
- Eine Nullstelle AUF dem Einheitskreis schafft eine perfekte Null an dieser Frequenz.
- Ein Pol NAH am Einheitskreis schafft einen Höchstwert in der Antwort.
- Eine Nullstelle in der Nähe des Einheitskreises (aber nicht darauf) schafft ein Tief, nicht eine Null.
- Polstellen INNERHALB des Einheitskreises halten den Filter stabil.
Die Geometrie des Z-Planes codiert das gesamte Filterverhalten visuell. Ingenieure zeichnen Pol-Nullstellen-Pläne, bevor sie Koeffizienten berechnen.