e^{i2πf} تتتبع دائرة الوحدة
الدالة الأسية المعقدة e^{iθ} تقع على دائرة الوحدة في المستوى المعقد. مع زيادة θ، تدور النقطة عكس اتجاه عقارب الساعة.
لمرشح رقمي مأخوذ العينات في أوقات صحيحة n = 0, 1, 2, …، تأخذ الدالة الذاتية e^{i2πfn} خطوة زاوية 2πf حول الدائرة عند كل عينة.
التردد كمعدل دوران: f يقيس مقدار الدورة الكاملة التي تحدث لكل عينة.
- f = 0: لا دوران؛ تبقى النقطة عند (1, 0)
- f = 1/4: دوران ربع دورة في كل خطوة
- f = 1/2: دوران نصف دورة في كل خطوة (تردد Nyquist)
- f = 1: دوران كامل في كل خطوة — غير مميز عن f = 0
هذه النقطة الأخيرة تحتوي على قصة التزامن بأكملها هندسياً.
لماذا دائرة الوحدة
دائرة الوحدة هي المجموعة {z : |z| = 1}. تقييم تحويل Z للدالة H(z) على دائرة الوحدة — بوضع z = e^{i2πf} — يعطي استجابة التردد H(f). دائرة الوحدة هي الحد الذي يلتقي فيه الاستقرار و التحليل في الوقت المنفصل.
الزوايا و الترددات
كل تردد f يقابل زاوية θ = 2πf راديان لكل عينة. النطاق الكامل من الترددات المميزة يغطي دورة واحدة كاملة: f ∈ [0, 1) أو بشكل مكافئ θ ∈ [0, 2π).
عند تردد Nyquist f = 1/2، تتقدم كل عينة بالضبط π راديان — نصف دورة.
الصورة الهندسية للتزامن
لدائرة الوحدة محيط 2π. دورة واحدة كاملة تقابل التردد f = 1 (دورة واحدة كاملة لكل عينة). الترددات المميزة في إشارة مأخوذة العينات تحتل بالضبط دورة واحدة.
ماذا يحدث عند f = 1/2 + δ؟ الدوران لكل عينة = 2π(1/2 + δ) = π + 2πδ. بعد k عينة، الزاوية = k(π + 2πδ). لكن الزاوية π + 2πδ متطابقة هندسياً مع −π + 2πδ، التي تقابل دوران التردد f = 1/2 − δ.
التزامن هو الحساب المعياري على الدائرة. الترددات فوق تردد Nyquist تلتف حول. الدائرة ليس لديها ذاكرة عن الطريقة التي جاءت منها.
تنص نظرية أخذ العينات: ابق في نصف الدائرة [0, π). خذ العينات بسرعة كافية بحيث لا تصل إشارتك إلى النصف الآخر. تفرض مرشحات مكافحة التزامن هذا الحد قبل أن تصل الإشارة إلى أخذ العينات.
حساب التزامن هندسياً
يظهر التزامن للتردد f تحت معدل أخذ العينات f_s عند |f − round(f / f_s) · f_s| — المسافة إلى أقرب مضاعف من f_s، معبراً عنها كجزء.
بالنسبة إلى f_s = 1 (معياري): التزامن f = 1 − f بالنسبة إلى f ∈ (1/2, 1). هذا هو الانعكاس للـ f حول نقطة Nyquist f = 1/2.
هندسياً: f و 1 − f يقعان في مواضع صورة مرآتية على دائرة الوحدة، متساوي البعد من محور π.
استجابة الحجم كحاصل ضرب المسافات
لدالة التحويل H(z) بأصفار z_1, z_2, … و أقطاب p_1, p_2, …:
|H(f)| = (∏ |e^{i2πf} − z_k|) / (∏ |e^{i2πf} − p_k|)
هذه هي الطريقة الرسومية لقراءة استجابة التردد مباشرة من مخطط الأقطاب و الأصفار.
القواعد:
- صفر على دائرة الوحدة ينتج عنه إلغاء مثالي عند هذا التردد.
- قطب بالقرب من دائرة الوحدة ينتج عنه قمة في الاستجابة.
- صفر بالقرب من دائرة الوحدة (لكن ليس عليها) ينتج عنه انخفاض، وليس إلغاء.
- الأقطاب داخل دائرة الوحدة تحافظ على استقرار المرشح.
هندسة المستوى Z تشفر سلوك المرشح بأكمله بصرياً. يرسم المهندسون مخططات الأقطاب و الأصفار قبل حساب المعاملات.