e^{i2πf} ترسم دائرة الوحدة
المعامل المعقد e^{iθ} يعيش على دائرة الوحدة في مصفوفة المعاملات المعقدة. عند زيادة θ، يورث النقطة في الاتجاه العكسي.
للمصفوفة الرقمية المتنموى عند الأعداد الصحيحة n = 0, 1, 2, …، تؤخذ الدالة الموجبة e^{i2πfn} خطوة زاوية 2πf حول الدائرة في كل نموذج.
التردد كسرعة الدوران: f يحدد كمية من المثبت الدوري الذي يحدث لكل نموذج.
- f = 0: لا يوجد دوران؛ النقطة تبقى في (1, 0)
- f = 1/4: نصف دورة في كل خطوة
- f = 1/2: دورة نصف في كل خطوة (تردد نيقويست)
- f = 1: دورة كاملة في كل خطوة - لا يمكن التفرقة بينه وبين f = 0
هذا النقطة الأخيرة تحتوي على كل قصة التبديل الهندسية.
لماذا دائرة الوحدة
دائرة الوحدة هي المجموعة {z : |z| = 1}. تقييم تحول Z H(z) على دائرة الوحدة - تعيين z = e^{i2πf} - يعطى استجابة التردد H(f). دائرة الوحدة هي الحدود حيث يلتقي الاستقرارية في الوقت الضمني وتحليل التردد.
الزوايا والترددات
يتوافق كل تردد f مع زاوية θ = 2πf راديان لكل نموذج. تتمة الترددات الفريدة تغطي دورة كاملة: f ∈ [0, 1) أو بشكل متساوي θ ∈ [0, 2π).
في تردد نيقويست f = 1/2، يتقدم كل نموذج بزاوية π راديان - نصف الدورة.
صورة الهندسية للتحريف
دائرة الوحدة لديها محيط 2π. الدورة الكاملة تعادل التردد f = 1 (موجة كاملة لكل عينة). الترددات المختلفة في الإشارة المأخورة تقع بالضبط في دائرة واحدة.
ماذا يحدث عند f = 1/2 + δ؟ التبدير لكل عينة = 2π(1/2 + δ) = π + 2πδ. بعد k عينات، الزاوية = k(π + 2πδ). لكن الزاوية π + 2πδ هو geometrically متطابق مع -π + 2πδ، الذي يطابق التبدير للتردد f = 1/2 − δ.
التحريف هو حساب جبري على الدائرة. الترددات فوق التردد النقيضية تدور حول الدائرة. الدائرة لا تذاكر من أي اتجاه جاءت.
يقول قانون العرض: احترز بالنصف الدائري [0, π). أخذ عينات بسرعة كافية أن الإشارة لن تصل إلى النصف الآخر. المصفوفات المضادة للتحريف تفرض هذا الحدود قبل أن تصل الإشارة إلى المأخور.
حساب التحريفات هندسياً
تحريف التردد f عند معدل العينة f_s يظهر عند |f − round(f / f_s) · f_s| - المسافة إلى أقرب متعددة من f_s، معبراً عنها كجزء.
لأن f_s = 1 (المعadem): تحريف f = 1 − f عند f ∈ (1/2, 1). هذا هو التمثيل المضاد للتردد f حول النقطة النقيضية f = 1/2.
هندسياً: f & 1 − f يقعان في مواقع متماثلة على الدائرة الوحدة، على بعد مسافة متساوية من المحور π.
استجابة المagnitude كمنتج المسافة
لدالة الانتقال H(z) مع الصفرات z_1, z_2, ... و القواسم p_1, p_2, ...:
|H(f)| = (∏ |e^{i2πf} − z_k|) / (∏ |e^{i2πf} − p_k|)
هذا هو طريقة الرسمية لقراءة استجابة التردد مباشرة من مخطط القواسم والصفرات.
القواعد:
- صفر على دائرة الوحدة يخلق إغفال مثالي لتردد معين.
- قاسم قريب من دائرة الوحدة يخلق ذروة في الاستجابة.
- صفر قريب من دائرة الوحدة (ولكن ليس عليها) يخلق انخفاض وليس إغفال.
- القواسم داخل دائرة الوحدة تظل التصفيف مستقرًا.
جغرافيا ز-الخط تخزن كل سلوك التصفيف بصورة مرئية. المهندسون يرسمون مخططات القواسم والصفرات قبل حساب المعاملات.