e^{i2πf} は単位円上を描く
複素指数関数 e^{iθ} は複素平面の単位円上に存在します。θ が増加するにつれ、点は反時計回りに回転します。
整数時刻 n = 0, 1, 2, … でサンプリングされたデジタルフィルタについて、固有関数 e^{i2πfn} は各サンプルで円の周りを 2πf ラジアン進みます。
周波数を回転速度として: f は1サンプルあたり何回転するかを測定します。
- f = 0: 回転なし。点は (1, 0) に留まります
- f = 1/4: 各ステップで4分の1回転
- f = 1/2: 各ステップで半回転（ナイキスト周波数）
- f = 1: 各ステップで全回転 — f = 0 と区別できません
この最後の点は、エイリアシングの物語全体を幾何学的に含んでいます。
単位円が重要な理由
単位円は集合 {z : |z| = 1} です。単位円上で Z変換 H(z) を評価する — z = e^{i2πf} とする — は周波数応答 H(f) を与えます。単位円は、離散時間安定性 & 周波数解析が出会う境界です。
角度 & 周波数
各周波数 f は、1サンプルあたりのラジアン θ = 2πf に対応します。異なる周波数の完全な範囲は1全回転をカバーします: f ∈ [0, 1) または同等に θ ∈ [0, 2π)。
ナイキスト周波数 f = 1/2 では、各サンプルが正確に π ラジアン進みます — 半回転。
エイリアシングの幾何学的描像
単位円は周長 2π を持ちます。全回転は周波数 f = 1（1サンプルあたり1全サイクル）に対応します。サンプリングされた信号の異なる周波数は正確に1回転をしめます。
f = 1/2 + δ ではどうなるか? 1サンプルあたりの回転 = 2π(1/2 + δ) = π + 2πδ。k サンプルの後、角度 = k(π + 2πδ)。しかし角度 π + 2πδ は幾何学的に −π + 2πδ と同じであり、これは周波数 f = 1/2 − δ の回転に対応します。
エイリアシングは円上のモジュラー演算です。 ナイキスト周波数より上の周波数は折り返されます。円はそれがどの方向から来たかについてメモリを持ちません。
サンプリング定理は言っています: 半円 [0, π) の中にいてください。信号が他の半分に決して到達しないほど十分に速くサンプリングしてください。アンチエイリアシングフィルタは、信号がサンプラーに到達する前にこの境界を強制します。
エイリアスを幾何学的に計算する
サンプリングレート f_s の下での周波数 f のエイリアスは |f − round(f / f_s) · f_s| に現れます — f_s の最も近い倍数までの距離、分数として表現されます。
f_s = 1（正規化）の場合: f ∈ (1/2, 1) の f のエイリアス = 1 − f。これはナイキスト点 f = 1/2 について f を反射したものです。
幾何学的には: f & 1 − f は単位円上でミラーイメージ位置に座り、π 軸から等距離です。
距離積としての大きさ応答
ゼロ z_1, z_2, … と極 p_1, p_2, … を持つ伝達関数 H(z) については:
|H(f)| = (∏ |e^{i2πf} − z_k|) / (∏ |e^{i2πf} − p_k|)
これは、極ゼロプロットから直接周波数応答を読むためのグラフィカル方法です。
ルール:
- 単位円上のゼロはその周波数での完全なヌルを作成します。
- 単位円の近くの極は応答にピークを作成します。
- 単位円の近く（ただしその上ではなく）のゼロはディップ（ノッチではなく）を作成します。
- 単位円の内側の極がフィルタを安定に保ちます。
Z平面幾何学はフィルタの全体の動作を視覚的にエンコードします。エンジニアは係数を計算する前に極ゼロプロットをスケッチします。