e^{i2πf} обертається на одиничному колі
Комплексна експоненціала e^{iθ} живе на одиничному колі в комплексній площині. Коли θ збільшується, точка обертається проти годинникової стрілки.
Для цифрового фільтра, дискретизованого в цілих часах n = 0, 1, 2, …, власна функція e^{i2πfn} робить крок на кут 2πf навколо кола на кожному зразку.
Частота як швидкість обертання: f вимірює, яка частина повної революції відбувається на один зразок.
- f = 0: без обертання; точка залишається в (1, 0)
- f = 1/4: чверть обертання на кожному кроці
- f = 1/2: половина обертання на кожному кроці (частота Найквіста)
- f = 1: повне обертання на кожному кроці — невідрізненна від f = 0
Ця остання точка містить усю історію аліасингу геометрично.
Чому одиничне коло
Одиничне коло — це набір {z : |z| = 1}. Оцінка Z-перетворення H(z) на одиничному колі — встановлення z = e^{i2πf} — дає частотну характеристику H(f). Одиничне коло — це межа, де дискретна стійкість часу & аналіз частоти зустрічаються.
Кути та частоти
Кожна частота f відповідає куту θ = 2πf радіанів на один зразок. Повний діапазон відмінних частот охоплює одне повне обертання: f ∈ [0, 1) або еквівалентно θ ∈ [0, 2π).
На частоті Найквіста f = 1/2 кожен зразок просувається на точно π радіанів — половину революції.
Геометрична картина аліасингу
Одиничне коло має довжину кола 2π. Повна революція відповідає частоті f = 1 (один повний цикл на один зразок). Відмінні частоти в дискретизованому сигналі займають точно одну революцію.
Що відбувається на f = 1/2 + δ? Обертання на один зразок = 2π(1/2 + δ) = π + 2πδ. Після k зразків кут = k(π + 2πδ). Але кут π + 2πδ геометрично ідентичний −π + 2πδ, який відповідає обертанню частоти f = 1/2 − δ.
Аліасинг — це модульна арифметика на колі. Частоти вище частоти Найквіста обертаються. Коло не має пам'яті про те, звідки вони прийшли.
Теорема дискретизації говорить: залишайтеся в напіввіді [0, π). Дискретизуйте достатньо швидко, щоб ваш сигнал ніколи не досяг іншої половини. Фільтри проти аліасингу застосовують цю межу перед тим, як сигнал досягне дискретизатора.
Обчислення аліасів геометрично
Аліас частоти f за швидкості дискретизації f_s з'являється в |f − round(f / f_s) · f_s| — відстані до найближчого кратного f_s, виражений як частка.
Для f_s = 1 (нормалізовано): аліас f = 1 − f для f ∈ (1/2, 1). Це відображення f навколо точки Найквіста f = 1/2.
Геометрично: f & 1 − f сидять на дзеркальних позиціях на одиничному колі, рівномірно розташовані від π-осі.
Відповідь величини як добуток відстаней
Для передавальної функції H(z) з нулями z_1, z_2, … та полюсами p_1, p_2, …:
|H(f)| = (∏ |e^{i2πf} − z_k|) / (∏ |e^{i2πf} − p_k|)
Це графічний метод для читання частотної характеристики прямо з графіка полюс-нуль.
Правила:
- Нуль НА одиничному колі створює ідеальний нуль на цій частоті.
- Полюс БІЛЯ одиничного кола створює пік у характеристиці.
- Нуль біля одиничного кола (але не на ньому) створює провал, не нуль.
- Полюси ВСЕРЕДИНІ одиничного кола зберігають фільтр стабільним.
Геометрія Z-площини кодує всю поведінку фільтра візуально. Інженери малюють графіки полюс-нуль перед обчисленням коефіцієнтів.