e^{i2πf} Spårar enhetscirkeln
En komplex exponential e^{iθ} ligger på enhetscirkeln i det komplexa planet. När θ ökar roterar punkten moturs.
För ett digitalt filter som samplats vid heltalstider n = 0, 1, 2, …, tar egenfunktionen e^{i2πfn} ett steg på vinkeln 2πf omkring cirkeln vid varje sampel.
Frekvens som rotationshastighet: f mäter hur mycket av en full revolution som inträffar per sampel.
- f = 0: ingen rotation; punkten stannar vid (1, 0)
- f = 1/4: fjärdedelrotation varje steg
- f = 1/2: halvrotation varje steg (Nyquist-frekvens)
- f = 1: full rotation varje steg — omöjlig att skilja från f = 0
Denna senaste punkt innehåller hela aliasing-historien geometriskt.
Varför enhetscirkeln
Enhetscirkeln är mängden {z : |z| = 1}. Att utvärdera Z-transformen H(z) på enhetscirkeln — genom att sätta z = e^{i2πf} — ger frekvensresponsen H(f). Enhetscirkeln är gränsen där diskret-tid stabilitet & frekvensanalys möts.
Vinklar & Frekvenser
Varje frekvens f motsvarar en vinkel θ = 2πf radianer per sampel. Det fulla området med distinkta frekvenser sträcker sig över en full revolution: f ∈ [0, 1) eller motsvarande θ ∈ [0, 2π).
Vid Nyquist-frekvensen f = 1/2 avancerar varje sampel exakt π radianer — en halv revolution.
Den geometriska bilden av aliasing
Enhetscirkeln har omkretsen 2π. En full revolution motsvarar frekvensen f = 1 (en full cykel per sampel). De distinkta frekvenserna i en sampelad signal upptar exakt en revolution.
Vad händer vid f = 1/2 + δ? Rotationen per sampel = 2π(1/2 + δ) = π + 2πδ. Efter k sampel är vinkeln = k(π + 2πδ). Men vinkeln π + 2πδ är geometriskt identisk med −π + 2πδ, vilket motsvarar rotationen av frekvensen f = 1/2 − δ.
Aliasing är modulär aritmetik på cirkeln. Frekvenser ovan Nyquist-frekvensen omsluts. Cirkeln har ingen minne av vilket håll de kom från.
Samplingsatsen säger: stanna i halvecirkeln [0, π). Sampla snabbt nog så att din signal aldrig når den andra hälften. Anti-aliasing-filter tillämpar denna gräns innan signalen når sampleren.
Beräkning av alias geometriskt
Aliaset för frekvensen f under samplingsfrekvensen f_s visas vid |f − round(f / f_s) · f_s| — avståndet till närmaste multipel av f_s, uttryckt som en bråkdel.
För f_s = 1 (normaliserad): alias av f = 1 − f för f ∈ (1/2, 1). Detta är reflektionen av f omkring Nyquist-punkten f = 1/2.
Geometriskt: f & 1 − f sitter vid spegelbild-positioner på enhetscirkeln, lika långt bort från π-axeln.
Magnitudrespons som distansprodukt
För en överföringsfunktion H(z) med nollor z_1, z_2, … och poler p_1, p_2, …:
|H(f)| = (∏ |e^{i2πf} − z_k|) / (∏ |e^{i2πf} − p_k|)
Detta är den grafiska metoden för att läsa frekvensrespons direkt från pol-noll-diagrammet.
Regler:
- En nolla PÅ enhetscirkeln skapar en perfekt null vid den frekvensen.
- En pol NÄRA enhetscirkeln skapar en topp i responsen.
- En nolla nära enhetscirkeln (men inte på den) skapar ett dipp, inte en null.
- Poler INNE I enhetscirkeln håller filtret stabilt.
Z-planets geometri kodar hela filterbeteendet visuellt. Ingenjörer skissar pol-noll-diagram innan de beräknar koefficienter.