e^{i2πf} Traza el Círculo Unitario
Un exponencial complejo e^{iθ} vive en el círculo unitario en el plano complejo. A medida que θ aumenta, el punto rota en sentido contrario a las agujas del reloj.
Para un filtro digital muestreado en tiempos enteros n = 0, 1, 2, …, la autofunción e^{i2πfn} da un paso de ángulo 2πf alrededor del círculo en cada muestra.
Frecuencia como velocidad de rotación: f mide cuánta revolución completa ocurre por muestra.
- f = 0: sin rotación; el punto permanece en (1, 0)
- f = 1/4: rotación de un cuarto en cada paso
- f = 1/2: rotación de media en cada paso (frecuencia de Nyquist)
- f = 1: rotación completa en cada paso — indistinguible de f = 0
Este último punto contiene toda la historia del aliasing geométricamente.
Por Qué el Círculo Unitario
El círculo unitario es el conjunto {z : |z| = 1}. Evaluar la transformada Z de H(z) en el círculo unitario — estableciendo z = e^{i2πf} — da la respuesta en frecuencia H(f). El círculo unitario es el límite donde se encuentran la estabilidad de tiempo discreto & el análisis de frecuencia.
Ángulos & Frecuencias
Cada frecuencia f corresponde a un ángulo θ = 2πf radianes por muestra. El rango completo de frecuencias distintas abarca una revolución completa: f ∈ [0, 1) o equivalentemente θ ∈ [0, 2π).
En la frecuencia de Nyquist f = 1/2, cada muestra avanza exactamente π radianes — media revolución.
La Imagen Geométrica del Aliasing
El círculo unitario tiene perímetro 2π. Una revolución completa corresponde a la frecuencia f = 1 (un ciclo completo por muestra). Las frecuencias distintas en una señal muestreada ocupan exactamente una revolución.
¿Qué sucede en f = 1/2 + δ? La rotación por muestra = 2π(1/2 + δ) = π + 2πδ. Después de k muestras, el ángulo = k(π + 2πδ). Pero el ángulo π + 2πδ es geométricamente idéntico a −π + 2πδ, que corresponde a la rotación de la frecuencia f = 1/2 − δ.
El aliasing es aritmética modular en el círculo. Las frecuencias por encima de la frecuencia de Nyquist se envuelven. El círculo no tiene memoria de de dónde vinieron.
El teorema de muestreo dice: permanece en el semicírculo [0, π). Muestrea lo suficientemente rápido para que tu señal nunca alcance la otra mitad. Los filtros anti-aliasing refuerzan este límite antes de que la señal llegue al muestreador.
Calculando Aliases Geométricamente
El alias de la frecuencia f bajo la tasa de muestreo f_s aparece en |f − round(f / f_s) · f_s| — la distancia al múltiplo más cercano de f_s, expresada como fracción.
Para f_s = 1 (normalizado): alias de f = 1 − f para f ∈ (1/2, 1). Esta es la reflexión de f sobre el punto de Nyquist f = 1/2.
Geométricamente: f & 1 − f se sientan en posiciones de imagen especular en el círculo unitario, equidistantes del eje π.
Respuesta de Magnitud como Producto de Distancia
Para una función de transferencia H(z) con ceros z_1, z_2, … y polos p_1, p_2, …:
|H(f)| = (∏ |e^{i2πf} − z_k|) / (∏ |e^{i2πf} − p_k|)
Este es el método gráfico para leer la respuesta en frecuencia directamente del diagrama de polos-ceros.
Reglas:
- Un cero EN el círculo unitario crea un nulo perfecto en esa frecuencia.
- Un polo CERCA del círculo unitario crea un pico en la respuesta.
- Un cero cerca del círculo unitario (pero no en él) crea una depresión, no un nulo.
- Los polos DENTRO del círculo unitario mantienen el filtro estable.
La geometría del plano Z codifica todo el comportamiento del filtro visualmente. Los ingenieros dibujan diagramas de polos-ceros antes de calcular coeficientes.