e^{i2πf} Rysuje Okręg Jeden
Złożony wykładnik e^{iθ} żyje na okręgu jednostkowym w płaszczyźnie zespolonej. Gdy θ wzrasta, punkt obraca się w przeciwnych kierunku.
Dla filtru cyfrowego próbowanego w całych czasach n = 0, 1, 2, …, funkcja własna e^{i2πfn} wykonuje krok w kierunku 2πf wokół okręgu na każdym próbie.
Częstotliwość jako szybkość obrotu: f mierzy, ile pełnych obrotów występuje na próbę.
- f = 0: brak obrotu; punkt pozostaje na (1, 0)
- f = 1/4: kwarta obrotu na każdym kroku
- f = 1/2: pół obrotu na każdym kroku (częstotliwość Nyquista)
- f = 1: cały obrot na każdym kroku - nieodróżnialne od f = 0
Ostatni punkt zawiera całą historię aliasingu geometrycznie.
Dlaczego Okręg Jednostkowy
Okręg jednostkowy to zbiór {z : |z| = 1}. Ewaluacja Z-przestawienia H(z) na okręgu jednostkowym - ustawienie z = e^{i2πf} - daje odpowiedź w zakresie częstotliwości H(f). Okręg jednostkowy to granica, gdzie stabilność czasu dyskretnego & analiza częstotliwości się spotykają.
Kąty & Częstotliwości
Każda częstotliwość f odpowiada kątowi θ = 2πf radianów na próbę. Cały zakres różnych częstotliwości obejmuje jeden pełny obrot: f ∈ [0, 1) lub równoważnie θ ∈ [0, 2π).
Na częstotliwość Nyquista f = 1/2, każdy próbny przesunięcie dokładnie o π radianów - pół obrotu.
Geometryczne Obrazowanie Aliasingu
Okrąg jednostkowy ma obwód 2π. Pełne obrotanie odpowiada częstotliwości f = 1 (jedna pełna cykl na próbkę). Różne częstotliwości w próbkowanym sygnałach zajmują dokładnie jedno obiegnięcie.
Co się dzieje przy f = 1/2 + δ? Obrót na próbce wynosi 2π(1/2 + δ) = π + 2πδ. Po k próbkach, kąt wynosi k(π + 2πδ). Ale kąt π + 2πδ jest geometrycznie identyczny z −π + 2πδ, co odpowiada obrotowi częstotliwości f = 1/2 − δ.
Aliasing jest arytmetyką modulo na okręgu. Częstotliwości powyżej częstotliwości Nyquista zwracają się. Okrąg nie pamięta, z której strony przyszły.
Teoria próbkowania mówi: utrzymaj się w półokręgu [0, π). Próbuj tak szybko, aby Twój sygnał nigdy nie doszedł do drugiego półokręgu. Filtry przeciwdziałający aliasingowi wprowadzają ten zakres przed sygnałem dociera do próbkownika.
Obliczanie Aliasów Geometrycznie
Alias częstotliwości f podczas próbkowania o częstotliwości f_s pojawia się przy |f − round(f / f_s) · f_s| — odległości od najbliższego wielokrotności f_s, wyrażonej jako ułamek.
Dla f_s = 1 (normalizowany): alias f = 1 − f dla f ∈ (1/2, 1). To odbicie f względem punktu Nyquista f = 1/2.
Geometrycznie: f & 1 − f znajdują się na przeciwległych pozycjach na okręgu jednostkowym, równych odległościach od osi π.
Odpowiedź Amplitudy jako Produkt Odległości
Dla funkcji transferu H(z) z zerami z_1, z_2, ... i bólami p_1, p_2, ...:
|H(f)| = (∏ |e^{i2πf} - z_k|) / (∏ |e^{i2πf} - p_k|)
To jest metoda graficzna do odczytywania odpowiedzi na częstotliwość bezpośrednio z diagramu biegunów.
Reguły:
- Zera NA jednostce okręgu tworzą doskonałe nule w tej częstotliwości.
- Ból BLISKI jednostki okręgu TWORZY wznoszenie w odpowiedzi.
- Zera blisko jednostki okręgu (ale nie na niej) tworzą zagłębienie, a nie nula.
- Bóle Wewnętrzne jednostki okręgu utrzymują filtr w stanie stabilności.
Geometria Z-plana koduje cały zachowanie filtru wizualnie. Inżynierowie rysują diagramy biegunów przed obliczaniem współczynników.