e^{i2πf}가 단위원을 추적한다
복소 지수함수 e^{iθ}는 복소 평면에서 단위원 위에 존재한다. θ가 증가하면 점은 반시계 방향으로 회전한다.
정수 시간 n = 0, 1, 2, …에서 샘플링된 디지털 필터의 경우, 고유함수 e^{i2πfn}은 각 샘플에서 원 주위의 각도 2πf만큼 한 단계씩 이동한다.
회전 속도로서의 주파수: f는 샘플당 전체 회전의 얼마가 일어나는지를 측정한다.
- f = 0: 회전 없음; 점이 (1, 0)에 머무름
- f = 1/4: 매 단계마다 사분의 일 회전
- f = 1/2: 매 단계마다 반 회전 (Nyquist 주파수)
- f = 1: 매 단계마다 전체 회전 — f = 0과 구별할 수 없음
이 마지막 점은 기하학적으로 전체 에일리어싱 이야기를 담고 있다.
왜 단위원인가
단위원은 집합 {z : |z| = 1}이다. Z-변환 H(z)를 단위원 위에서 평가하면 — z = e^{i2πf}로 설정하면 — 주파수 응답 H(f)를 얻는다. 단위원은 이산 시간 안정성 & 주파수 분석이 만나는 경계이다.
각도 & 주파수
각 주파수 f는 샘플당 각도 θ = 2πf 라디안에 해당한다. 서로 다른 주파수의 전체 범위는 하나의 전체 회전에 걸친다: f ∈ [0, 1) 또는 동등하게 θ ∈ [0, 2π).
Nyquist 주파수 f = 1/2에서 각 샘플은 정확히 π 라디안 진행한다 — 반 회전.
에일리어싱의 기하학적 그림
단위원의 둘레는 2π이다. 전체 회전은 주파수 f = 1 (샘플당 한 번의 전체 주기)에 해당한다. 샘플링된 신호의 서로 다른 주파수는 정확히 한 번의 회전을 차지한다.
f = 1/2 + δ에서는 어떻게 될까? 샘플당 회전 = 2π(1/2 + δ) = π + 2πδ. k개 샘플 후, 각도 = k(π + 2πδ). 하지만 각도 π + 2πδ는 기하학적으로 −π + 2πδ와 동일하며, 이는 주파수 f = 1/2 − δ의 회전에 해당한다.
에일리어싱은 원 위의 모듈로 산술이다. Nyquist 주파수를 초과하는 주파수는 래핑된다. 원은 어디서 왔는지 기억하지 못한다.
샘플링 정리는 다음을 말한다: 반원 [0, π) 내에 머물러라. 신호가 다른 쪽 반을 절대 도달하지 않도록 충분히 빠르게 샘플링하라. 반-에일리어싱 필터는 신호가 샘플러에 도달하기 전에 이 경계를 강제한다.
기하학적으로 에일리어스 계산하기
샘플링 속도 f_s 하에서 주파수 f의 에일리어스는 |f − round(f / f_s) · f_s|에 나타난다 — 분수로 표현된 가장 가까운 f_s의 배수까지의 거리.
f_s = 1 (정규화)인 경우: f ∈ (1/2, 1)에 대한 f의 에일리어스 = 1 − f. 이는 Nyquist 점 f = 1/2에 대한 f의 반사이다.
기하학적으로: f & 1 − f는 단위원 위의 거울상 위치에 있으며, π축에서 같은 거리에 있다.
크기 응답을 거리 곱으로
영점 z_1, z_2, …과 극점 p_1, p_2, …을 갖는 전달함수 H(z)에 대해:
|H(f)| = (∏ |e^{i2πf} − z_k|) / (∏ |e^{i2πf} − p_k|)
이것은 극-영점 그림에서 직접 주파수 응답을 읽기 위한 그래픽 방법이다.
규칙:
- 단위원 위의 영점은 그 주파수에서 완벽한 영점을 만든다.
- 단위원 근처의 극점은 응답에서 피크를 만든다.
- 단위원 근처의 영점 (그 위가 아닌)은 영점이 아닌 딥을 만든다.
- 단위원 내부의 극점은 필터를 안정적으로 유지한다.
Z-평면 기하학은 전체 필터 동작을 시각적으로 인코딩한다. 엔지니어들은 계수를 계산하기 전에 극-영점 그림을 스케치한다.