e^{i2πf} 追踪单位圆
复指数 e^{iθ} 存在于复平面的单位圆上。当 θ 增加时，该点逆时针旋转。
对于在整数时间 n = 0, 1, 2, … 处采样的数字滤波器，本征函数 e^{i2πfn} 在每个采样处绕圆周迈步 2πf 角度。
频率作为旋转率：f 测量每个采样处发生的完整圆周的多少。
- f = 0：无旋转；点停留在 (1, 0)
- f = 1/4：每步旋转四分之一
- f = 1/2：每步旋转一半（奈奎斯特频率）
- f = 1：每步完整旋转 — 与 f = 0 无法区分
最后这一点从几何上包含了整个混叠的故事。
为什么是单位圆
单位圆是集合 {z : |z| = 1}。在单位圆上计算 Z 变换 H(z) — 设置 z = e^{i2πf} — 得到频率响应 H(f)。单位圆是离散时间稳定性与频率分析相交的边界。
角度和频率
每个频率 f 对应于每个采样的 θ = 2πf 弧度的角度。不同频率的全部范围跨越一个完整圆周：f ∈ [0, 1) 或等价地 θ ∈ [0, 2π)。
在奈奎斯特频率 f = 1/2 处，每个采样恰好推进 π 弧度 — 半个圆周。
混叠的几何图景
单位圆的周长为 2π。完整圆周对应于频率 f = 1（每个采样一个完整周期）。采样信号中不同的频率恰好占据一个圆周。
在 f = 1/2 + δ 处会发生什么？每个采样的旋转 = 2π(1/2 + δ) = π + 2πδ。经过 k 个采样后，角度 = k(π + 2πδ)。但角度 π + 2πδ 在几何上与 −π + 2πδ 相同，这对应于频率 f = 1/2 − δ 的旋转。
混叠是圆上的模运算。 高于奈奎斯特频率的频率环绕。圆没有记得它们来自哪个方向。
采样定理说：停留在半圆 [0, π) 中。采样足够快，使得你的信号永远不会到达另一半。抗混叠滤波器在信号到达采样器之前强制执行这个边界。
从几何上计算混叠
在采样率 f_s 下频率 f 的混叠出现在 |f − round(f / f_s) · f_s| — 到 f_s 的最近倍数的距离，表示为分数。
对于 f_s = 1（归一化）：对于 f ∈ (1/2, 1)，f 的混叠 = 1 − f。这是 f 关于奈奎斯特点 f = 1/2 的反射。
从几何上讲：f & 1 − f 在单位圆上坐在镜像位置，距 π 轴等距。
幅度响应作为距离乘积
对于具有零点 z_1, z_2, … 和极点 p_1, p_2, … 的传输函数 H(z)：
|H(f)| = (∏ |e^{i2πf} − z_k|) / (∏ |e^{i2πf} − p_k|)
这是从极点零点图直接读取频率响应的图形方法。
规则：
- 单位圆上的零点在该频率处创建完美的零点。
- 单位圆附近的极点在响应中创建峰值。
- 靠近单位圆（但不在其上）的零点创建凹陷，而不是零点。
- 单位圆内的极点保持滤波器稳定。
Z 平面几何在视觉上编码了整个滤波器的行为。工程师在计算系数之前描绘极点零点图。