e^{i2πf} Melacak Lingkaran Satuan
Eksponensial kompleks e^{iθ} berada pada lingkaran satuan dalam bidang kompleks. Saat θ meningkat, titik berputar berlawanan arah jarum jam.
Untuk filter digital yang disample pada waktu bilangan bulat n = 0, 1, 2, …, fungsi eigen e^{i2πfn} mengambil langkah sudut 2πf mengelilingi lingkaran pada setiap sampel.
Frekuensi sebagai laju rotasi: f mengukur berapa banyak revolusi penuh yang terjadi per sampel.
- f = 0: tidak ada rotasi; titik tetap di (1, 0)
- f = 1/4: rotasi seperempat pada setiap langkah
- f = 1/2: rotasi setengah pada setiap langkah (frekuensi Nyquist)
- f = 1: rotasi penuh pada setiap langkah — tidak dapat dibedakan dari f = 0
Titik terakhir ini mengandung seluruh cerita aliasing secara geometris.
Mengapa Lingkaran Satuan
Lingkaran satuan adalah himpunan {z : |z| = 1}. Mengevaluasi transformasi-Z H(z) pada lingkaran satuan — menetapkan z = e^{i2πf} — memberikan respons frekuensi H(f). Lingkaran satuan adalah batas di mana stabilitas waktu-diskrit & analisis frekuensi bertemu.
Sudut & Frekuensi
Setiap frekuensi f sesuai dengan sudut θ = 2πf radian per sampel. Jangkauan lengkap frekuensi yang berbeda mencakup satu revolusi penuh: f ∈ [0, 1) atau setara θ ∈ [0, 2π).
Pada frekuensi Nyquist f = 1/2, setiap sampel maju tepat π radian — setengah revolusi.
Gambar Geometris Aliasing
Lingkaran satuan memiliki keliling 2π. Satu revolusi penuh sesuai dengan frekuensi f = 1 (satu siklus penuh per sampel). Frekuensi yang berbeda dalam sinyal yang disample menempati tepat satu revolusi.
Apa yang terjadi pada f = 1/2 + δ? Rotasi per sampel = 2π(1/2 + δ) = π + 2πδ. Setelah k sampel, sudut = k(π + 2πδ). Tapi sudut π + 2πδ secara geometris identik dengan −π + 2πδ, yang sesuai dengan rotasi frekuensi f = 1/2 − δ.
Aliasing adalah aritmatika modular pada lingkaran. Frekuensi di atas frekuensi Nyquist membungkus. Lingkaran tidak memiliki memori tentang jalan mana yang mereka ambil.
Teorema sampling mengatakan: tetap dalam setengah-lingkaran [0, π). Sample cukup cepat sehingga sinyal Anda tidak pernah mencapai setengah yang lain. Filter anti-aliasing menegakkan batas ini sebelum sinyal mencapai sampler.
Menghitung Alias Secara Geometris
Alias dari frekuensi f di bawah laju sampling f_s muncul pada |f − round(f / f_s) · f_s| — jarak ke kelipatan f_s terdekat, dinyatakan sebagai fraksi.
Untuk f_s = 1 (ternormalisasi): alias dari f = 1 − f untuk f ∈ (1/2, 1). Ini adalah refleksi f tentang titik Nyquist f = 1/2.
Secara geometris: f & 1 − f berada pada posisi bayangan cermin pada lingkaran satuan, berjarak sama dari sumbu π.
Respons Magnitude sebagai Produk Jarak
Untuk fungsi transfer H(z) dengan zero z_1, z_2, … & pole p_1, p_2, …:
|H(f)| = (∏ |e^{i2πf} − z_k|) / (∏ |e^{i2πf} − p_k|)
Ini adalah metode grafis untuk membaca respons frekuensi langsung dari plot pole-zero.
Aturan:
- Zero PADA lingkaran satuan menciptakan null sempurna pada frekuensi itu.
- Pole DEKAT lingkaran satuan menciptakan puncak dalam respons.
- Zero dekat lingkaran satuan (tetapi tidak pada itu) menciptakan dip, bukan null.
- Pole DI DALAM lingkaran satuan menjaga filter tetap stabil.
Geometri bidang-Z menyandikan seluruh perilaku filter secara visual. Insinyur membuat sketsa plot pole-zero sebelum menghitung koefisien.