un — डिजिटल फिल्टर की ज्यामिति I

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e^{i2πf} इकाई वृत्त को ट्रेस करता है

एक जटिल घातांक e^{iθ} जटिल तल में इकाई वृत्त पर रहता है। जैसे-जैसे θ बढ़ता है, बिंदु वामावर्त घूमता है।

एक डिजिटल फिल्टर के लिए जो पूर्णांक समय n = 0, 1, 2, … पर नमूना किया जाता है, eigenfunction e^{i2πfn} प्रत्येक नमूने पर वृत्त के चारों ओर कोण 2πf का एक कदम उठाता है।

घूर्णन दर के रूप में आवृत्ति: f मापता है कि प्रति नमूने में कितनी क्रांति होती है।

- f = 0: कोई घूर्णन नहीं; बिंदु (1, 0) पर रहता है

- f = 1/4: प्रत्येक कदम पर एक चौथाई घूर्णन

- f = 1/2: प्रत्येक कदम पर आधा घूर्णन (न्यक्विस्ट आवृत्ति)

- f = 1: प्रत्येक कदम पर पूर्ण घूर्णन — f = 0 से अप्रभेद्य

यह अंतिम बिंदु पूरी अलियासिंग कहानी को ज्यामितीय रूप से समाहित करता है।

Frequency as Angle: Unit Circle & Aliasing

इकाई वृत्त क्यों

इकाई वृत्त समुच्चय {z : |z| = 1} है। इकाई वृत्त पर Z-रूपांतर H(z) का मूल्यांकन करना — z = e^{i2πf} सेट करना — आवृत्ति प्रतिक्रिया H(f) देता है। इकाई वृत्त वह सीमा है जहां असतत-समय स्थिरता & आवृत्ति विश्लेषण मिलते हैं।

कोण & आवृत्तियाँ

प्रत्येक आवृत्ति f प्रति नमूने पर कोण θ = 2πf रेडियन से मेल खाती है। अलग आवृत्तियों की पूरी श्रृंखला एक पूर्ण क्रांति तक फैली हुई है: f ∈ [0, 1) या समान रूप से θ ∈ [0, 2π)।

न्यक्विस्ट आवृत्ति f = 1/2 पर, प्रत्येक नमूना ठीक π रेडियन आगे बढ़ता है — आधी क्रांति।

इकाई वृत्त पर, आवृत्ति f = 1/6 कोण 2π/6 = π/3 रेडियन से मेल खाती है। एक फिल्टर के अपने ट्रांसफर फंक्शन में z = e^{i2π/3} पर एक शून्य होता है (अर्थात्, f = 1/3 पर)। ज्यामितीय रूप से समझाएं कि जब इनपुट में आवृत्ति f = 1/3 होती है तो फिल्टर के आउटपुट के साथ क्या होता है। इकाई वृत्त पर उस आवृत्ति पर एक शून्य रखने से पूर्ण रद्दीकरण क्यों होता है?

अलियासिंग की ज्यामितीय तस्वीर

इकाई वृत्त की परिधि 2π है। एक पूर्ण क्रांति आवृत्ति f = 1 (प्रति नमूने में एक पूर्ण चक्र) से मेल खाती है। नमूनाकृत संकेत में अलग आवृत्तियां ठीक एक क्रांति में व्याप्त होती हैं।

f = 1/2 + δ पर क्या होता है? प्रति नमूने पर घूर्णन = 2π(1/2 + δ) = π + 2πδ। k नमूनों के बाद, कोण = k(π + 2πδ)। लेकिन कोण π + 2πδ ज्यामितीय रूप से −π + 2πδ के समान है, जो आवृत्ति f = 1/2 − δ के घूर्णन से मेल खाता है।

अलियासिंग वृत्त पर सापेक्ष अंकगणित है। न्यक्विस्ट आवृत्ति से ऊपर की आवृत्तियां लपेटती हैं। वृत्त को इस बात की कोई याद नहीं है कि वे किस तरफ से आए हैं।

नमूनाकरण प्रमेय कहता है: आधे-वृत्त [0, π) में रहें। पर्याप्त तेज़ी से नमूना लें ताकि आपका संकेत कभी दूसरे आधे तक न पहुंचे। एंटी-अलियासिंग फिल्टर सिग्नल नमूनाकार तक पहुंचने से पहले इस सीमा को लागू करते हैं।

ज्यामितीय रूप से उपनाम की गणना करना

नमूनाकरण दर f_s के तहत आवृत्ति f का उपनाम |f − round(f / f_s) · f_s| पर दिखाई देता है — f_s के निकटतम गुणज तक की दूरी, एक अंश के रूप में व्यक्त की गई।

f_s = 1 (सामान्यीकृत) के लिए: f का उपनाम = 1 − f, f ∈ (1/2, 1) के लिए। यह न्यक्विस्ट बिंदु f = 1/2 के बारे में f का प्रतिबिंब है।

ज्यामितीय रूप से: f & 1 − f इकाई वृत्त पर दर्पण-छवि स्थितियों पर बैठते हैं, π-अक्ष से समान दूरी पर।

एक संकेत f_s = 1000 Hz पर नमूना किया जाता है जिसमें 700 Hz का टोन होता है। न्यक्विस्ट आवृत्ति 500 Hz है। ज्यामितीय प्रतिबिंब तर्क का उपयोग करते हुए — कि अलियास की गई आवृत्तियां इकाई वृत्त पर न्यक्विस्ट बिंदु के बारे में परिलक्षित होती हैं — उपनाम आवृत्ति की गणना करें। फिर 700 Hz और इसके उपनाम की स्थिति एक इकाई वृत्त पर स्केच करें जिसकी पूरी परिधि 1000 Hz नमूनाकरण अवधि का प्रतिनिधित्व करती है।

दूरी गुणनफल के रूप में परिमाण प्रतिक्रिया

शून्य z_1, z_2, … और ध्रुव p_1, p_2, … के साथ ट्रांसफर फंक्शन H(z) के लिए:

|H(f)| = (∏ |e^{i2πf} − z_k|) / (∏ |e^{i2πf} − p_k|)

यह ध्रुव-शून्य प्लॉट से सीधे आवृत्ति प्रतिक्रिया को पढ़ने की ग्राफिकल विधि है।

नियम:

- इकाई वृत्त पर एक शून्य उस आवृत्ति पर एक आदर्श शून्य बनाता है।

- इकाई वृत्त के पास एक ध्रुव प्रतिक्रिया में एक चोटी बनाता है।

- इकाई वृत्त के पास एक शून्य (लेकिन उस पर नहीं) एक डिप बनाता है, शून्य नहीं।

- इकाई वृत्त के अंदर ध्रुव फिल्टर को स्थिर रखते हैं।

Z-तल की ज्यामिति पूरे फिल्टर व्यवहार को दृश्य रूप से एन्कोड करती है। इंजीनियर गुणांकों की गणना से पहले ध्रुव-शून्य प्लॉट स्केच करते हैं।

एक द्वितीय-क्रम फिल्टर के पास z = ±j पर दो शून्य हैं (जो इकाई वृत्त पर f = 1/4 और f = 3/4 पर हैं) और z = 0.7 पर एक ध्रुव है (वास्तविक अक्ष पर, इकाई वृत्त के अंदर)। कोई गुणांक की गणना किए बिना: फिल्टर की आवृत्ति प्रतिक्रिया आकार का वर्णन करें। कौन सी आवृत्तियां गुजरती हैं? कौन सी शून्य हैं? प्रतिक्रिया चोटी कहां है? प्रत्येक दावे को ज्यामितीय रूप से सही ठहराएं।