un — ციფრული ფილტრების გეომეტრია I

un

სტუმარი

1 / ?

e^{i2πf} თეორებს ერთეულის წრეს

რთული ექსპონენციალი e^{iθ} მდებარეობს ერთეულის წრეზე რთულ სიბრტყეზე. როდესაც θ იზრდება, წერტილი ბრუნავს საათის ისრის საწინააღმდეგოდ.

ციფრული ფილტრის შემთხვევაში, რომელიც შერჩეულია მთელი დროის n = 0, 1, 2, … მომენტებში, საკუთარი ფუნქცია e^{i2πfn} აკეთებს კუთხის 2πf ნაბიჯს წრის გარშემო თითოეულ ნიმუშზე.

სიხშირე, როგორც ბრუნის სიჩქარე: f აზომავს, რა ნაწილი სრული ბრუნის ხდება ერთ ნიმუშზე.

- f = 0: ბრუნი არ ხდება; წერტილი რჩება (1, 0)-ზე

- f = 1/4: მეოთხედი ბრუნი თითოეულ საფეხურზე

- f = 1/2: ნახევარი ბრუნი თითოეულ საფეხურზე (ნიკვისტის სიხშირე)

- f = 1: სრული ბრუნი თითოეულ საფეხურზე — გამორჩენილი f = 0-დან

ეს უკანასკნელი წერტილი შეიცავს მთელ ალიასირების ისტორიას გეომეტრიულად.

სიხშირე, როგორც კუთხე: ერთეულის წრე & ალიასირება

რატომ ერთეულის წრე

ერთეულის წრე არის სიმრავლე {z : |z| = 1}. Z-გარდაქმნის H(z) შეფასება ერთეულის წრეზე — z = e^{i2πf} დაყენება — იძლევა სიხშირის პასუხს H(f). ერთეულის წრე არის საზღვრული, სადაც დისკრეტული დროის სტაბილურობა & სიხშირის ანალიზი ხვდება.

კუთხეები & სიხშირეები

თითოეული სიხშირე f შეესაბამება კუთხე θ = 2πf რადიანი ერთ ნიმუშზე. მკაფიო სიხშირეების სრული დიაპაზონი დაფარულია ერთი სრული ბრუნი: f ∈ [0, 1) ან ექვივალენტურად θ ∈ [0, 2π).

ნიკვისტის სიხშირეზე f = 1/2, თითოეული ნიმუში ზუსტად π რადიან წინ მოდის — ნახევარი ბრუნი.

ერთეულის წრეზე, სიხშირე f = 1/6 შეესაბამება კუთხე 2π/6 = π/3 რადიან. ფილტრს აქვს ნული მის ტრანსფერ ფუნქციაში z = e^{i2π/3}-ზე (ანუ f = 1/3-ზე). ახსენით გეომეტრიულად რა ხდება ფილტრის გამოსავალში, როდესაც შეყვანა შეიცავს სიხშირე f = 1/3-ს. რატომ იწვევს ნულის განთავსებას ზუსტად ამ სიხშირეზე ერთეულის წრეზე სრული გაუქმებას?

ალიასირების გეომეტრიული სურათი

ერთეულის წრეს აქვს პერიმეტრი 2π. სრული ბრუნი შეესაბამება სიხშირე f = 1 (ერთი სრული ციკლი ერთ ნიმუშზე). განსხვავებული სიხშირეები აერთიანებულ სიგნალში დაკავებულია ზუსტად ერთი ბრუნი.

რა ხდება f = 1/2 + δ-ზე? ბრუნი ერთ ნიმუშზე = 2π(1/2 + δ) = π + 2πδ. k ნიმუშის შემდეგ, კუთხე = k(π + 2πδ). მაგრამ კუთხე π + 2πδ გეომეტრიულად იდენტური −π + 2πδ-ს, რომელიც შეესაბამება სიხშირის ბრუნს f = 1/2 − δ.

ალიასირება არის მოდულური არითმეტიკა წრეზე. ნიკვისტის სიხშირეზე ზემოთ სიხშირეები გადაიხვევა. წრეს არ აქვს მეხსიერება, რა გზით მოვიდნენ ისინი.

ნიმუშის აღების თეორემა ამბობს: დარჩეთ ნახევარ-წრეში [0, π). აიღეთ ნიმუში საკმაოდ სწრაფად, რომ თქვენი სიგნალი მეორე ნახევარს არასოდეს მიაღწია. ანტიალიასირების ფილტრები აკრძალავენ ამ საზღვარს, სანამ სიგნალი შერჩევის აპარატზე მივა.

ალიასების გეომეტრიული გამოთვლა

სიხშირის ალიასი f შერჩევის სიჩქარეზე f_s გამოჩნდება |f − round(f / f_s) · f_s|-ზე — მანძილი f_s-ის უახლოეს ჯერადამდე, გამოხატული წილადად.

f_s = 1-სთვის (ნორმალიზებული): f-ის ალიასი = 1 − f f ∈ (1/2, 1)-სთვის. ეს არის f-ის ასახვა ნიკვისტის წერტილის f = 1/2 შესახებ.

გეომეტრიულად: f & 1 − f სხედან სარკის გამოსახულებაზე ერთეულის წრეზე, ტოლი მანძილით π-ღერძიდან.

სიგნალი, რომელიც აღებულია f_s = 1000 Hz-ზე, შეიცავს 700 Hz ტონს. ნიკვისტის სიხშირე არის 500 Hz. გამოიყენეთ გეომეტრიული ასახვის არგუმენტი — რომ ალიაზიანი სიხშირეები ასახულია ნიკვისტის წერტილის შესახებ ერთეულის წრეზე — გამოთვალეთ ალიასის სიხშირე. შემდეგ დახაზეთ 700 Hz და მისი ალიასის პოზიციები ერთეულის წრეზე, რომლის სრული პერიმეტრი წარმოადგენს 1000 Hz შერჩევის პერიოდს.

სიდიდის პასუხი, როგორც მანძილის ნამრავლი

ტრანსფერ ფუნქციისთვის H(z) ნულებით z_1, z_2, … და პოლუსებით p_1, p_2, …:

|H(f)| = (∏ |e^{i2πf} − z_k|) / (∏ |e^{i2πf} − p_k|)

ეს არის გრაფიკული მეთოდი სიხშირის პასუხის კითხვისთვის პოლუს-ნული ნახაზიდან პირდაპირ.

წესები:

- ნული ერთეულის წრეზე ქმნის სრულ ნულს ამ სიხშირეზე.

- პოლუსი წრის მახლობლად ქმნის მწვერვალს პასუხში.

- ნული წრის მახლობლად (მაგრამ არა მასზე) ქმნის ჩაღრმავებას, არა ნულს.

- პოლუსები ერთეულის წრის შიგნით ფილტრს სტაბილურს ნიშლავენ.

Z-სიბრტყის გეომეტრია კოდირებს მთელი ფილტრის ქცევას ვიზუალურად. ინჟინრები ხაზავენ პოლუს-ნული ნახაზებს კოეფიციენტების გამოთვლამდე.

მეორე რიგის ფილტრს აქვს ორი ნული z = ±j-ზე (რომელი არის სიხშირეზე f = 1/4 და f = 3/4 ერთეულის წრეზე) და ერთი პოლუსი z = 0.7-ზე (რეალურ ღერძზე, ერთეულის წრის შიგნით). კოეფიციენტების გამოთვლის გარეშე: აღწერეთ ფილტრის სიხშირის პასუხის ფორმა. რომელი სიხშირეები გაივლიან? რომელი არის ნულირებული? სადაც პასუხი მწვერვალდება? გაამართლეთ თითოეული დამტკიცება გეომეტრიულად.