e^{i2πf} описывает единичную окружность
Комплексная экспонента e^{iθ} находится на единичной окружности в комплексной плоскости. По мере увеличения θ точка вращается против часовой стрелки.
Для цифрового фильтра, дискретизированного в целые моменты времени n = 0, 1, 2, …, собственная функция e^{i2πfn} делает шаг угла 2πf вокруг окружности на каждой выборке.
Частота как скорость вращения: f измеряет, какая часть полного оборота происходит на выборку.
- f = 0: нет вращения; точка остается в (1, 0)
- f = 1/4: четвертьоборот на каждом шаге
- f = 1/2: полуоборот на каждом шаге (частота Найквиста)
- f = 1: полный оборот на каждом шаге — неотличимо от f = 0
Это последнее утверждение содержит всю историю наложения спектра геометрически.
Почему единичная окружность
Единичная окружность — это множество {z : |z| = 1}. Вычисление Z-преобразования H(z) на единичной окружности — установка z = e^{i2πf} — дает частотный отклик H(f). Единичная окружность — это граница, где встречаются дискретная стабильность & частотный анализ.
Углы и частоты
Каждая частота f соответствует углу θ = 2πf радиан на выборку. Полный диапазон различных частот охватывает один полный оборот: f ∈ [0, 1) или эквивалентно θ ∈ [0, 2π).
На частоте Найквиста f = 1/2 каждая выборка продвигается на ровно π радиан — половину оборота.
Геометрическая картина наложения спектра
Единичная окружность имеет длину 2π. Полный оборот соответствует частоте f = 1 (один полный цикл на выборку). Различные частоты в дискретизированном сигнале занимают ровно один оборот.
Что происходит при f = 1/2 + δ? Поворот на выборку = 2π(1/2 + δ) = π + 2πδ. После k выборок угол = k(π + 2πδ). Но угол π + 2πδ геометрически идентичен −π + 2πδ, который соответствует повороту частоты f = 1/2 − δ.
Наложение спектра — это модульная арифметика на окружности. Частоты выше частоты Найквиста оборачиваются. Окружность не помнит, как они туда попали.
Теорема дискретизации говорит: оставайтесь в полукруге [0, π). Дискретизируйте достаточно быстро, чтобы ваш сигнал никогда не достигал другой половины. Фильтры против наложения спектра обеспечивают эту границу до того, как сигнал достигает дискретизатора.
Вычисление псевдонимов геометрически
Псевдоним частоты f при частоте дискретизации f_s появляется в |f − round(f / f_s) · f_s| — расстояние до ближайшего кратного f_s, выраженное как доля.
Для f_s = 1 (нормализованно): псевдоним f = 1 − f для f ∈ (1/2, 1). Это отражение f относительно точки Найквиста f = 1/2.
Геометрически: f & 1 − f сидят в зеркально-симметричных позициях на единичной окружности, равноудаленные от оси π.
Амплитудный отклик как произведение расстояний
Для передаточной функции H(z) с нулями z_1, z_2, … и полюсами p_1, p_2, …:
|H(f)| = (∏ |e^{i2πf} − z_k|) / (∏ |e^{i2πf} − p_k|)
Это графический метод для чтения частотного отклика непосредственно с диаграммы полюсов и нулей.
Правила:
- Нуль НА единичной окружности создает идеальный нуль на этой частоте.
- Полюс РЯДОМ с единичной окружностью создает пик в отклике.
- Нуль рядом с единичной окружностью (но не на ней) создает впадину, не нуль.
- Полюсы ВНУТРИ единичной окружности сохраняют фильтр стабильным.
Геометрия Z-плоскости кодирует все поведение фильтра визуально. Инженеры набрасывают диаграммы полюсов-нулей перед вычислением коэффициентов.