e^{i2πf} trace le cercle unité
Une exponentielle complexe e^{iθ} vit sur le cercle unité dans le plan complexe. À mesure que θ augmente, le point tourne dans le sens antihoraire.
Pour un filtre numérique échantillonné à des instants entiers n = 0, 1, 2, …, la fonction propre e^{i2πfn} prend une étape d'angle 2πf autour du cercle à chaque échantillon.
Fréquence comme vitesse de rotation: f mesure quelle fraction d'une révolution complète se produit par échantillon.
- f = 0: pas de rotation; le point reste à (1, 0)
- f = 1/4: rotation d'un quart à chaque étape
- f = 1/2: rotation d'une demi-révolution à chaque étape (fréquence de Nyquist)
- f = 1: rotation complète à chaque étape — indistinguible de f = 0
Ce dernier point contient toute l'histoire de l'aliasing géométriquement.
Pourquoi le cercle unité
Le cercle unité est l'ensemble {z : |z| = 1}. Évaluer la transformée en Z H(z) sur le cercle unité — en posant z = e^{i2πf} — donne la réponse en fréquence H(f). Le cercle unité est la frontière où la stabilité à temps discret & l'analyse fréquentielle se rencontrent.
Angles & fréquences
Chaque fréquence f correspond à un angle θ = 2πf radians par échantillon. La plage complète des fréquences distinctes couvre une révolution complète: f ∈ [0, 1) ou de façon équivalente θ ∈ [0, 2π).
À la fréquence de Nyquist f = 1/2, chaque échantillon avance exactement π radians — une demi-révolution.
L'image géométrique de l'aliasing
Le cercle unité a une circonférence 2π. Une révolution complète correspond à la fréquence f = 1 (un cycle complet par échantillon). Les fréquences distinctes dans un signal échantillonné occupent exactement une révolution.
Que se passe-t-il à f = 1/2 + δ? La rotation par échantillon = 2π(1/2 + δ) = π + 2πδ. Après k échantillons, l'angle = k(π + 2πδ). Mais l'angle π + 2πδ est géométriquement identique à −π + 2πδ, qui correspond à la rotation de la fréquence f = 1/2 − δ.
L'aliasing est l'arithmétique modulaire sur le cercle. Les fréquences au-dessus de la fréquence de Nyquist s'enroulent. Le cercle n'a pas de mémoire du chemin d'où elles viennent.
Le théorème d'échantillonnage dit: restez dans le demi-cercle [0, π). Échantillonnez assez vite pour que votre signal n'atteigne jamais l'autre moitié. Les filtres anti-aliasing imposent cette limite avant que le signal n'atteigne l'échantillonneur.
Calcul des alias géométriquement
L'alias de la fréquence f sous la fréquence d'échantillonnage f_s apparaît à |f − round(f / f_s) · f_s| — la distance au multiple le plus proche de f_s, exprimée comme une fraction.
Pour f_s = 1 (normalisé): l'alias de f = 1 − f pour f ∈ (1/2, 1). Ceci est la réflexion de f par rapport au point de Nyquist f = 1/2.
Géométriquement: f & 1 − f se trouvent à des positions en miroir sur le cercle unité, équidistants de l'axe π.
Réponse en magnitude comme produit de distances
Pour une fonction de transfert H(z) avec zéros z_1, z_2, … & pôles p_1, p_2, …:
|H(f)| = (∏ |e^{i2πf} − z_k|) / (∏ |e^{i2πf} − p_k|)
C'est la méthode graphique pour lire la réponse en fréquence directement du diagramme pôles-zéros.
Règles:
- Un zéro sur le cercle unité crée un nul parfait à cette fréquence.
- Un pôle près du cercle unité crée un pic dans la réponse.
- Un zéro près du cercle unité (mais pas sur lui) crée une réduction, pas un nul.
- Les pôles à l'intérieur du cercle unité gardent le filtre stable.
La géométrie du plan Z code le comportement entier du filtre visuellement. Les ingénieurs esquissent des diagrammes pôles-zéros avant de calculer les coefficients.