数量级
Hamming的互连成本表包含四个层级：片上($0.00001)、芯片间($0.01)、板间($0.10)、框架间($1.00)。
在线性刻度上，这些值在视觉上几乎无法比较——片上成本在框架成本旁边不可见。在对数刻度上，相等的步长代表相等的比率。
对数刻度
如果成本C在第k层满足log₁₀(C) = a + bk，那么C = 10^(a+bk)——k的指数函数，在对数刻度上绘制为一条直线。
从数据：log₁₀(0.00001) = −5、log₁₀(0.01) = −2、log₁₀(0.10) = −1、log₁₀(1.00) = 0。每上升一个层级大约增加1-1.5个数量级。
计算斜率
将互连层级视为变量L：L=0（片上）、L=1（芯片）、L=2（板）、L=3（框架）。将成本映射到log₁₀值：−5、−2、−1、0。
log₁₀(成本)对L的最小二乘法拟合给出斜率：每个层级多少个数量级。
信噪比与阈值决策
信噪比(SNR)衡量通信通道的质量：
SNR = 信号功率 / 噪声功率
单位为分贝：SNR_dB = 10 · log₁₀(SNR)
对于模拟通道，SNR在n个中继级中相加降解。如果每个级贡献噪声功率N₀，n级后总噪声：N_total = n · N₀。n级后SNR：S / (n · N₀)。
对于数字通道，每个中继将信号再生至满功率S₀并将噪声重置为N₀。n级后SNR：S₀ / N₀——与n无关。
几何解释：模拟SNR随1/n下降(n中的双曲衰减)。数字SNR保持恒定——SNR对n的图中是一条水平线。
阈值：在每个数字中继处，决策规则是：如果接收到的电压 > V_threshold，输出1；否则输出0。一个中继处的错误概率：
P_error ≈ Q(V_threshold / σ_noise)
其中Q是标准正态分布的尾部概率。对于SNR >> 1，P_error以指数方式接近零。
计算信噪比降解
光纤链路跨越1000公里。模拟设计：每10公里一个放大器，每个贡献相等的噪声N₀。数字设计：每10公里一个再生器，每个将SNR重置为S₀/N₀ = 30分贝。
从指数到逻辑
新技术遵循一个模式：早期采用缓慢、快速加速、然后饱和。这种S形轨迹出现在半导体、互联网采用、手机& 每个主要平台技术中。
逻辑方程
设P(t) = 到时间t已采用的潜在采用者分数。逻辑斯谛模型：
dP/dt = r · P(t) · (1 − P(t))
解：P(t) = 1 / (1 + e^(−r(t − t₀)))
其中r = 增长率，t₀ = 拐点(P = 0.5)。在t = t₀：增长率最大。
几何特征：曲线经过(t₀, 0.5)；关于该点对称；当t → −∞时接近0，当t → +∞时接近1；最大斜率 = r/4在拐点处。
S曲线解释了为什么早期数字采用看起来缓慢：在P = 0.1(采用率10%)时，dP/dt = r · 0.1 · 0.9 = 0.09r。在P = 0.5(拐点)时，dP/dt = 0.25r。增长加速直到它碰到饱和约束(1 − P)将其拉回。
拐点与半衰期
消费电子产品中的数字IC采用遵循大约1975年至1995年的逻辑曲线，拐点约在1985年。
假设P(1975) = 0.05且P(1985) = 0.50。使用P(t) = 1 / (1 + e^(−r(t − t₀)))，其中t₀ = 1985。