Ordres de Grandeur
Le tableau de coût d'interconnexion de Hamming s'étend sur quatre niveaux : sur la puce ($0,00001), puce à puce ($0,01), carte à carte ($0,10), cadre à cadre ($1,00).
Sur une échelle linéaire, ces valeurs sont presque impossibles à comparer visuellement — le coût sur puce est invisible à côté du coût du cadre. Sur une échelle logarithmique, les étapes égales représentent des rapports égaux.
Échelle Logarithmique
Si le coût C au niveau k satisfait log₁₀(C) = a + bk, alors C = 10^(a+bk) — une exponentielle en k, qui se trace comme une droite sur une échelle logarithmique.
À partir des données : log₁₀(0,00001) = −5, log₁₀(0,01) = −2, log₁₀(0,10) = −1, log₁₀(1,00) = 0. Chaque niveau ajoute environ 1-1,5 ordres de grandeur.
Calcul de la Pente
Traitez le niveau d'interconnexion comme une variable L : L=0 (sur puce), L=1 (puce), L=2 (carte), L=3 (cadre). Mappez les coûts aux valeurs log₁₀ : −5, −2, −1, 0.
Un ajustement par moindres carrés de log₁₀(coût) sur L donne la pente : combien d'ordres de grandeur par niveau.
SNR & la Décision de Seuil
Le rapport signal-bruit (SNR) mesure la qualité d'un canal de communication :
SNR = signal power / noise power
In decibels: SNR_dB = 10 · log₁₀(SNR)
Pour un canal analogique, le SNR se dégrade additivement à travers n étapes de relais. Si chaque étape contribue une puissance de bruit N₀, le bruit total après n étapes : N_total = n · N₀. SNR après n étapes : S / (n · N₀).
Pour un canal numérique, chaque relais régénère le signal à la puissance complète S₀ et réinitialise le bruit à N₀. SNR après n étapes : S₀ / N₀ — indépendant de n.
L'interprétation géométrique : le SNR analogique diminue comme 1/n (décroissance hyperbolique en n). Le SNR numérique reste constant — une ligne horizontale sur le graphique SNR en fonction de n.
Seuil : à chaque relais numérique, la règle de décision est : si la tension reçue > V_seuil, sortie 1 ; sinon, sortie 0. La probabilité d'erreur à un relais :
P_error ≈ Q(V_threshold / σ_noise)
où Q est la probabilité de queue d'une normale standard. Pour SNR >> 1, P_error approche zéro exponentiellement.
Calcul de la Dégradation du SNR
Un lien par fibre optique s'étend sur 1000 km. Conception analogique : un amplificateur tous les 10 km, chacun contribuant un bruit égal N₀. Conception numérique : un régénérateur tous les 10 km, chacun réinitialisant le SNR à S₀/N₀ = 30 dB.
De l'Exponentielle à la Logistique
Les nouvelles technologies suivent un schéma : adoption lente au début, accélération rapide, puis saturation. Cette trajectoire en forme de S apparaît dans les semi-conducteurs, l'adoption d'Internet, les téléphones mobiles, & toute technologie de plateforme majeure.
Équation Logistique
Soit P(t) = fraction des adoptants potentiels qui ont adopté au temps t. Le modèle logistique :
dP/dt = r · P(t) · (1 − P(t))
Solution: P(t) = 1 / (1 + e^(−r(t − t₀)))
où r = taux de croissance, t₀ = point d'inflexion (P = 0,5). À t = t₀ : le taux de croissance est maximum.
Caractéristiques géométriques : la courbe passe par (t₀, 0,5) ; symétrique autour de ce point ; approche 0 quand t → −∞ et 1 quand t → +∞ ; pente maximale = r/4 à l'inflexion.
La courbe en S explique pourquoi l'adoption précoce du numérique semblait lente : à P = 0,1 (10 % d'adoption), dP/dt = r · 0,1 · 0,9 = 0,09r. À P = 0,5 (inflexion), dP/dt = 0,25r. La croissance s'accélère jusqu'à ce que la contrainte de saturation (1 − P) la tire vers le bas.
Inflexion & Demi-vie
L'adoption des CI numériques en électronique grand public a suivi une courbe logistique de 1975 à 1995 environ, avec le point d'inflexion autour de 1985.
Supposons P(1975) = 0,05 et P(1985) = 0,50. En utilisant P(t) = 1 / (1 + e^(−r(t − t₀))) avec t₀ = 1985.