Büyüklük Sınıfları
Hamming'in bağlantı maliyetleri tablosu dört seviyeye yayılır: çip içinde ($0.00001), çip-çip ($0.01), tabla-tabla ($0.10), kasa-kasa ($1.00).
Lineer bir ölçekte, bu değerleri görsel olarak karşılaştırma neredeyse imkansız - çip içinde maliyet, kasa maliyetinin yanında görünmez. Logaritma ölçekli eşit adımlar eşit oranları temsil eder.
Logaritma Ölçeği
Eğer k maliyeti seviye k'yi karşılayıyorsa, log₁₀(C) = a + bk, ardından C = 10^(a+bk) - k seviyesinde eksponansiyel, log skala üzerinde düz bir çizgi olarak çizilir.
Verilerden: log₁₀(0.00001) = −5, log₁₀(0.01) = −2, log₁₀(0.10) = −1, log₁₀(1.00) = 0. Her seviye yukarıda yaklaşık 1-1.5 büyüklük sıraları eklenir.
Derece Hesaplaması
Bağlantı seviyesini değişken L olarak kabul edin: L=0 (çip içinde), L=1 (çip), L=2 (tabla), L=3 (kasa). Maliyetleri log₁₀ değerlerine eşleyin: −5, −2, −1, 0.
log₁₀(maliyet) üzerinde en az kare uyumu, dereceden ne kadar büyüklük sıralaması seviye başına olduğunu gösterir.
SNR & Sınır Kararı
Görünüm-gürültü oranı (SNR), bir iletişim kanalının kalitesini ölçer:
SNR = sinyal gücü / gürültü gücü
dB'lerde SNR: SNR_dB = 10 · log10(SNR)
Bir analog kanalda, SNR her bir iletim aşamasında ek olarak azalmaktadır. Eğer her aşama gürültü gücüne N0 katkıda bulunursa, n aşama sonrası toplam gürültü: N_total = n · N0. SNR n aşama sonra: S / (n · N0).
Bir dijital kanalda, her iletim sinyali tam güç S0'a geri yükler ve gürültüyü N0'a sıfırlar. SNR n aşama sonra: S0 / N0 - n'e bağlı olmaksızın.
Görsel açıklama: analog SNR 1/n düşüşü (n hipobolik azalma grafında). Dijital SNR sabit kalır - SNR vs n grafında dikey bir çizgi.
Eşik: her dijital iletimde, alma kuralı: alinan gerilim > V_threshold ise, çıkış 1; aksi takdirde çıkış 0. Bir iletimdeki hata olasılığı:
P_error ≈ Q(V_threshold / σ_noise)
burada Q, standart normalin kuyruklarının olasılığıdır. SNR >> 1 olduğunda, P_error eksponansiyel olarak sıfıra yaklaşır.
SNR Azalımı Hesaplama
Bir fiber optik bağlantısı 1000 km uzunluğundadır. Analog tasarım: her 10 km'de bir amplifikatör, eşit gürültü N₀ katkıda bulunur. Dijital tasarım: her 10 km'de bir regeneratör, SNR'yi S₀/N₀ = 30 dB'ye sıfırlar.
Eksponansiyelden Lojistik
Yeni teknolojilerin bir paterni izlediği görülüyor: yavaş başlangıçta kabul, ardından hızlı bir ivme artışı ve ardından durgunluk. Bu S şeklinde bir yolculuk, yarıçıkışlılar, internet kabulü, mobil telefonlar ve her büyük platform teknolojisi gibi görülür.
Lojistik Denklemi
P(t) = zaman t'ye kadar alınmış potansiyel kullanıcıların oranını temsil eden bir değişken olsun. Lojistik model:
dP/dt = r · P(t) · (1 − P(t))
Çözüm: P(t) = 1 / (1 + e^(−r(t − t₀)))
nereye r = büyüme oranı, t₀ = ekleme noktası (P = 0.5). t = t₀: büyüme oranı en yüksektir.
Geometrik özellikler: eğri t₀, (t₀, 0.5) noktalarından geçer; bu noktaya simetrik olarak düzenlenir; t → −∞ iken 0'a, t → +∞ iken 1'e yaklaşır; ekleme eğrisinin en büyük eğim = r/4, ekleme noktasındadır.
S-kurvası, erken dijital kabulün yavaş göründüğünü açıklar: P = 0.1 (10% kabul) olduğunda, dP/dt = r · 0.1 · 0.9 = 0.09r. P = 0.5 (ekleme) olduğunda, dP/dt = 0.25r. Büyüme ivme kazanılana kadar durgunluk kısıtlamasına (1 − P) geri çekilir.
Ekleme Noktası ve Yarı Ömür
Kullanıcı elektroniği tüketiminde yaklaşık 1975-1995 arasında dijital IC kabulünün lojistik bir eğri izlediği düşünülüyor ve ekleme noktası yaklaşık 1985'te gerçekleşti.
P(1975) = 0.05 ve P(1985) = 0.50 varsayalım. P(t) = 1 / (1 + e^(−r(t − t₀))) kullanmak için t₀ = 1985.