Órdenes de Magnitud
La tabla de costos de interconexión de Hamming abarca cuatro niveles: en-chip ($0.00001), chip-a-chip ($0.01), placa-a-placa ($0.10), marco-a-marco ($1.00).
En una escala lineal, estos valores son casi imposibles de comparar visualmente — el costo en-chip es invisible junto al costo de marco. En una escala logarítmica, pasos iguales representan razones iguales.
Escala Logarítmica
Si el costo C en el nivel k satisface log₁₀(C) = a + bk, entonces C = 10^(a+bk) — una exponencial en k, que se grafica como una línea recta en una escala logarítmica.
De los datos: log₁₀(0.00001) = −5, log₁₀(0.01) = −2, log₁₀(0.10) = −1, log₁₀(1.00) = 0. Cada nivel hacia arriba añade aproximadamente 1-1.5 órdenes de magnitud.
Calculando la Pendiente
Trata el nivel de interconexión como una variable L: L=0 (en-chip), L=1 (chip), L=2 (placa), L=3 (marco). Mapea costos a valores log₁₀: −5, −2, −1, 0.
Un ajuste de mínimos cuadrados de log₁₀(costo) sobre L proporciona la pendiente: cuántas órdenes de magnitud por nivel.
SNR & la Decisión de Umbral
La relación señal-ruido (SNR) mide la calidad de un canal de comunicación:
SNR = potencia de señal / potencia de ruido
En decibelios: SNR_dB = 10 · log₁₀(SNR)
Para un canal analógico, SNR se degrada aditivamente a través de n etapas de relé. Si cada etapa contribuye potencia de ruido N₀, ruido total después de n etapas: N_total = n · N₀. SNR después de n etapas: S / (n · N₀).
Para un canal digital, cada relé regenera la señal a potencia completa S₀ & reinicia el ruido a N₀. SNR después de n etapas: S₀ / N₀ — independiente de n.
La interpretación geométrica: la SNR analógica cae como 1/n (decaimiento hiperbólico en n). La SNR digital permanece constante — una línea horizontal en la gráfica SNR vs n.
Umbral: en cada relé digital, la regla de decisión es: si voltaje recibido > V_umbral, salida 1; si no, salida 0. La probabilidad de error en un relé:
P_error ≈ Q(V_umbral / σ_ruido)
donde Q es la probabilidad de cola de una normal estándar. Para SNR >> 1, P_error se aproxima a cero exponencialmente.
Calculando la Degradación de SNR
Un enlace de fibra óptica abarca 1000 km. Diseño analógico: un amplificador cada 10 km, cada uno contribuyendo ruido igual N₀. Diseño digital: un regenerador cada 10 km, cada uno reiniciando SNR a S₀/N₀ = 30 dB.
De Exponencial a Logística
Las nuevas tecnologías siguen un patrón: adopción temprana lenta, aceleración rápida, luego saturación. Esta trayectoria en forma de S aparece en semiconductores, adopción de internet, teléfonos móviles, & toda tecnología de plataforma importante.
Ecuación Logística
Sea P(t) = fracción de adoptadores potenciales que han adoptado en el tiempo t. El modelo logístico:
dP/dt = r · P(t) · (1 − P(t))
Solución: P(t) = 1 / (1 + e^(−r(t − t₀)))
donde r = tasa de crecimiento, t₀ = punto de inflexión (P = 0.5). En t = t₀: la tasa de crecimiento es máxima.
Características geométricas: la curva pasa por (t₀, 0.5); es simétrica respecto a ese punto; se aproxima a 0 cuando t → −∞ & a 1 cuando t → +∞; pendiente máxima = r/4 en la inflexión.
La curva S explica por qué la adopción digital temprana parecía lenta: en P = 0.1 (10% de adopción), dP/dt = r · 0.1 · 0.9 = 0.09r. En P = 0.5 (inflexión), dP/dt = 0.25r. El crecimiento se acelera hasta que la restricción de saturación (1 − P) lo retrae.
Inflexión & Adopción Media
La adopción de CI digital en electrónica de consumo siguió una curva logística aproximadamente desde 1975 a 1995, con el punto de inflexión alrededor de 1985.
Supongamos P(1975) = 0.05 & P(1985) = 0.50. Usando P(t) = 1 / (1 + e^(−r(t − t₀))) con t₀ = 1985.