Rzędy wielkości
Tablica kosztów połączeń Hamminga obejmuje cztery poziomy: na chipie ($0.00001), chip-do-chipa ($0.01), płytka-do-płytki ($0.10), rama-do-ramy ($1.00).
W skali liniowej wartości te są prawie niemożliwe do porównania wizualnie — koszt na chipie jest niewidoczny obok kosztu ramy. W skali logarytmicznej równe kroki reprezentują równe stosunki.
Skala logarytmiczna
Jeśli koszt C na poziomie k spełnia log₁₀(C) = a + bk, to C = 10^(a+bk) — funkcja wykładnicza k, która wykreśla się jako linia prosta na skali logarytmicznej.
Z danych: log₁₀(0.00001) = −5, log₁₀(0.01) = −2, log₁₀(0.10) = −1, log₁₀(1.00) = 0. Każdy wyższy poziom dodaje około 1-1,5 rzędu wielkości.
Obliczanie nachylenia
Traktuj poziom połączenia jako zmienną L: L=0 (na chipie), L=1 (chip), L=2 (płytka), L=3 (rama). Przyporządkuj koszty wartościom log₁₀: −5, −2, −1, 0.
Dopasowanie metodą najmniejszych kwadratów log₁₀(koszt) do L daje nachylenie: ile rzędów wielkości na poziom.
SNR & Decyzja progowa
Stosunek sygnału do szumu (SNR) mierzy jakość kanału komunikacyjnego:
SNR = moc sygnału / moc szumu
W decybelach: SNR_dB = 10 · log₁₀(SNR)
W kanale analogowym SNR degraduje się addytywnie przez n etapów przekaźnika. Jeśli każdy etap wnosi moc szumu N₀, całkowity szum po n etapach: N_całkowity = n · N₀. SNR po n etapach: S / (n · N₀).
W kanale cyfrowym każdy przekaźnik regeneruje sygnał do pełnej mocy S₀ i resetuje szum do N₀. SNR po n etapach: S₀ / N₀ — niezależnie od n.
Interpretacja geometryczna: SNR analogowy spada jako 1/n (hiperboliczny spadek w n). SNR cyfrowy pozostaje stały — linia pozioma na wykresie SNR vs n.
Próg: na każdym przekaźniku cyfrowym reguła decyzji jest: jeśli napięcie odebrane > V_próg, wyślij 1; w przeciwnym razie wyślij 0. Prawdopodobieństwo błędu na jednym przekaźniku:
P_błąd ≈ Q(V_próg / σ_szum)
gdzie Q jest prawdopodobieństwem ogona standardowego rozkładu normalnego. Dla SNR >> 1, P_błąd podąża do zera wykładniczo.
Obliczanie degradacji SNR
Łącze światłowodowe obejmuje 1000 km. Projekt analogowy: jeden wzmacniacz co 10 km, każdy wnoszący równą moc szumu N₀. Projekt cyfrowy: jeden regenerator co 10 km, każdy resetujący SNR do S₀/N₀ = 30 dB.
Od wzrostu wykładniczego do logistycznego
Nowe technologie podążają za wzorem: powolna wczesna adopcja, szybkie przyspieszenie, potem nasycenie. Ta trajektoria w kształcie S pojawia się w półprzewodnikach, adopcji internetu, telefonach komórkowych, & każdej głównej technologii platformy.
Równanie logistyczne
Niech P(t) = ułamek potencjalnych użytkowników, którzy adoptowali do czasu t. Model logistyczny:
dP/dt = r · P(t) · (1 − P(t))
Rozwiązanie: P(t) = 1 / (1 + e^(−r(t − t₀)))
gdzie r = tempo wzrostu, t₀ = punkt przegięcia (P = 0.5). Przy t = t₀: tempo wzrostu jest maksymalne.
Cechy geometryczne: krzywa przechodzi przez (t₀, 0.5); symetryczna względem tego punktu; zbliża się do 0 gdy t → −∞ i do 1 gdy t → +∞; maksymalne nachylenie = r/4 w punkcie przegięcia.
Krzywa S wyjaśnia, dlaczego wczesna adopcja cyfrowa wyglądała wolno: przy P = 0.1 (10% adopcji), dP/dt = r · 0.1 · 0.9 = 0.09r. Przy P = 0.5 (przegięcie), dP/dt = 0.25r. Wzrost przyspiesza, dopóki ograniczenie nasycenia (1 − P) go nie zatrzyma.
Przegięcie & Połowa życia
Adopcja cyfrowych układów scalonych w elektronice konsumenckiej podążała za krzywą logistyczną od około 1975 do 1995, z punktem przegięcia około 1985.
Załóżmy, że P(1975) = 0.05 i P(1985) = 0.50. Używając P(t) = 1 / (1 + e^(−r(t − t₀))) z t₀ = 1985.