un

guest
1 / ?
back to lessons

Wielkości Rzędu

Tabela kosztów Hamminga pokazuje cztery poziomy: wewnętrzne (on-chip) ($0.00001), międzychipowe (chip-to-chip) ($0.01), międzyplanszowe (board-to-board) ($0.10), międzyszafowe (frame-to-frame) ($1.00).

W skali liniowej te wartości są niemal niemożliwe do porównania wzajemnie - koszt wewnętrzny (on-chip) jest niewidoczny obok kosztu szafowego. Na skali logarytmicznej kroki równoległe reprezentują równoległe proporcje.

Skala Logarytmiczna

Jeśli koszt C na poziomie k spełnia warunek log₁₀(C) = a + bk, to C = 10^(a+bk) - eksponencja w funkcji k, która przedstawia prostą na logarzytmicznej skali.

Z danych: log₁₀(0.00001) = −5, log₁₀(0.01) = −2, log₁₀(0.10) = −1, log₁₀(1.00) = 0. Każde wyższe poziomo dodaje około 1-1,5 rzędów wielkości.

Geometryja IC: Logarytmiczny Koszt & Geometria Sygnału

Obliczanie Pochylenia

Traktuj poziom połączenia jako zmienną L: L=0 (wewnętrzne), L=1 (chip), L=2 (plansza), L=3 (szafa). Przyporządkuj koszty do wartości log₁₀: −5, −2, −1, 0.

Pasując liniowo log₁₀(cos) na L, otrzymujesz kąt pochylenia: ilu rzędów wielkości na poziomie.

Wykorzystując cztery punkty danych (L=0, log C=−5), (L=1, log C=−2), (L=2, log C=−1), (L=3, log C=0), oblicz kąt pochylenia pasującej linii (zmiana log₁₀(cos) na poziomie). Następnie zinterpretuj kąt pochylenia: co to oznacza w odniesieniu do mnożenia kosztów na poziomie połączenia?

SNR & decyzja prógowa

Stosunek sygnału do szumu (SNR) miernik jakości kanału komunikacyjnego:

SNR = moc sygnału / moc szumu

W decybelach: SNR_dB = 10 · log₁₀(SNR)

Dla kanału analogowego, SNR ulega degradacji dodatkowo przez n etapów przekaźnikowych. Jeśli na każdym etapie dodawany jest szum o mocy N₀, łączny szum po n etapach: N_total = n · N₀. SNR po n etapach: S / (n · N₀).

Dla kanału cyfrowego, na każdym etapie przekaźnik odtwarza sygnał na pełną moc S₀ i resetowuje szum do N₀. SNR po n etapach: S₀ / N₀ — niezależny od n.

Interpretacja geometryczna: analogowy SNR spada jak 1/n (dekady hiperboliczne w n). Cyfrowy SNR utrzymuje się na stałym poziomie — prosta pozioma w wykresie SNR vs n.

Próg: na każdym przekaźniku cyfrowym, zasada decyzji: jeśli napięcie otrzymane > V_threshold, wyjście 1; w przeciwnym razie wyjście 0. Prawdopodobieństwo błędu na jednym etapie:

P_error ≈ Q(V_threshold / σ_noise)

gdzie Q jest prawdopodobieństwem ogona znormalizowanej normalnej. Dla SNR >> 1, P_error zbliża się do zera eksponencyjnie.

Obliczanie degradacji SNR

Łącze optyczne o długości 1000 km. Projekt analogowy: jeden wzmacniacz co 10 km, każdy dodając równą ilość szumu N₀. Projekt cyfrowy: jeden regenerator co 10 km, każdy resetujący SNR do S₀/N₀ = 30 dB.

Dla łącza analogowego: początkowa moc sygnału S₀, szum na każdym wzmacniaczu N₀. Po 100 wzmacniaczach (1000 km), oblicz SNR_analog w dB. Dla łącza cyfrowego: SNR_digital = 30 dB przez cały czas. Oblicz różnicę w dB między SNR cyfrowym a analogowym na 1000 km. Pokaż kroki formuły.

Z eksponencjalnego do logarytmicznego

Nowe technologie mają charakterystyczny wzorzec: powolne wczesne wdrożenie, szybki wzrost, a następnie nasycenie. Ta S-kształtna trajektoria występuje w półprzewodnikach, przyjęciu internetu, telefonach komórkowych i każdej ważnej technologii platformy.

Równanie logistyczne

Niech P(t) = część potencjalnych użytkowników, którzy przyjęli je do czasu t. Model logistyczny:

dP/dt = r · P(t) · (1 − P(t))

Rozwiązanie: P(t) = 1 / (1 + e^(−r(t − t₀)))

gdzie r = szybkość wzrostu, t₀ = punkt zagięcia (P = 0,5). Na t = t₀: szybkość wzrostu jest maksymalna.

Geometryczne cechy: krzywa przechodzi przez (t₀, 0,5); jest symetryczna w odniesieniu do tego punktu; zbliża się do 0, gdy t → −∞ i 1, gdy t → +∞; maksymalny spadek = r/4 w punkcie zagięcia.

Krzywa S wyjaśnia, dlaczego wczesne przyjęcie cyfrowe wyglądało powoli: na P = 0,1 (10% przyjęcia), dP/dt = r · 0,1 · 0,9 = 0,09r. Na P = 0,5 (punkt zagięcia), dP/dt = 0,25r. Rozpędzenie przyspiesza, aż dosięga ograniczenia nasycenia (1 − P) powraca go.

Zagięcie & Półżycie

Przyjęcie cyfrowe układów scalonych w urządzeniach użytkowych miało kształt logistyczny od około 1975 do 1995 roku, z punktem zagięcia około 1985 roku.

Załóżmy, że P(1975) = 0,05 i P(1985) = 0,50. Korzystając z P(t) = 1 / (1 + e^(−r(t − t₀))) z t₀ = 1985.

Wykorzystując P(1975) = 0,05 i t₀ = 1985, rozwiąż szybkość wzrostu r. Pokaż algebrę od P(t) = 1/(1 + e^(−r(t−t₀))). Następnie oblicz P(1995) korzystając z r, który znaleziono. Jak blisko pełnego nasycenia model przewiduje do 1995 roku?