رتب الحجم
جدول تكاليف الترابط لهامينج يشمل أربع مستويات: على الرقاقة ($0.00001)، من رقاقة إلى رقاقة ($0.01)، من لوحة إلى لوحة ($0.10)، من إطار إلى إطار ($1.00).
على مقياس خطي، يكاد يكون من المستحيل مقارنة هذه القيم بصريًا؛ تكلفة على الرقاقة غير مرئية بجانب تكلفة الإطار. على مقياس لوغاريتمي، تمثل الخطوات المتساوية نسبًا متساوية.
المقياس اللوغاريتمي
إذا كانت التكلفة C عند المستوى k تحقق log₁₀(C) = a + bk، فإن C = 10^(a+bk) — دالة أسية في k، والتي ترسم كخط مستقيم على مقياس لوغاريتمي.
من البيانات: log₁₀(0.00001) = −5، log₁₀(0.01) = −2، log₁₀(0.10) = −1، log₁₀(1.00) = 0. كل مستوى صعود يضيف حوالي 1-1.5 رتبة حجم.
حساب الميل
اعتبر مستوى الترابط كمتغير L: L=0 (على الرقاقة)، L=1 (رقاقة)، L=2 (لوحة)، L=3 (إطار). اربط التكاليف بقيم log₁₀: −5، −2، −1، 0.
يعطي مطابقة المربعات الصغرى لـ log₁₀(cost) بدالة L الميل: كم عدد رتب الحجم لكل مستوى.
نسبة الإشارة إلى الضوضاء و قرار العتبة
تقيس نسبة الإشارة إلى الضوضاء (SNR) جودة قناة الاتصال:
SNR = قوة الإشارة / قوة الضوضاء
بالديسيبل: SNR_dB = 10 · log₁₀(SNR)
لقناة تناظرية، تتدهور نسبة الإشارة إلى الضوضاء بشكل إضافي من خلال n مرحلة إعادة إرسال. إذا ساهمت كل مرحلة بقوة ضوضاء N₀، الضوضاء الإجمالية بعد n مرحلة: N_total = n · N₀. نسبة الإشارة إلى الضوضاء بعد n مرحلة: S / (n · N₀).
لقناة رقمية، تعيد كل مرحلة إرسال بناء الإشارة إلى القوة الكاملة S₀ و تعيد تعيين الضوضاء إلى N₀. نسبة الإشارة إلى الضوضاء بعد n مرحلة: S₀ / N₀ — مستقلة عن n.
التفسير الهندسي: تتناقص نسبة الإشارة إلى الضوضاء التناظرية مثل 1/n (تناقص زائدي في n). نسبة الإشارة إلى الضوضاء الرقمية تبقى ثابتة — خط أفقي في رسم البياني لـ SNR مقابل n.
العتبة: عند كل إعادة إرسال رقمية، قاعدة القرار هي: إذا كانت الجهد المستقبل > V_threshold، أخرج 1؛ وإلا أخرج 0. احتمالية الخطأ عند إعادة إرسال واحدة:
P_error ≈ Q(V_threshold / σ_noise)
حيث Q هي احتمالية ذيل التوزيع الطبيعي المعياري. لـ SNR >> 1، يقترب P_error من الصفر بشكل أسي.
حساب تدهور نسبة الإشارة إلى الضوضاء
وصلة ألياف بصرية تمتد 1000 كم. تصميم تناظري: مضخم واحد كل 10 كم، كل منها يساهم بضوضاء متساوية N₀. تصميم رقمي: معيد إرسال واحد كل 10 كم، كل منها يعيد تعيين نسبة الإشارة إلى الضوضاء إلى S₀/N₀ = 30 dB.
من الأسي إلى اللوجستي
تتبع التكنولوجيات الجديدة نمطًا: اعتماد مبكر بطيء، تسارع سريع، ثم تشبع. هذا المسار على شكل S يظهر في أشباه الموصلات، واعتماد الإنترنت، والهواتف المحمولة، و كل تكنولوجيا منصة رئيسية.
معادلة اللوجستي
دع P(t) = جزء المعتمدين المحتملين الذين اعتمدوا بحلول الوقت t. نموذج اللوجستي:
dP/dt = r · P(t) · (1 − P(t))
الحل: P(t) = 1 / (1 + e^(−r(t − t₀)))
حيث r = معدل النمو، t₀ = نقطة الانعطاف (P = 0.5). عند t = t₀: معدل النمو هو الحد الأقصى.
الميزات الهندسية: يمر المنحنى عبر (t₀, 0.5)؛ متماثل حول تلك النقطة؛ يقترب من 0 مثل t → −∞ و من 1 مثل t → +∞؛ الميل الأقصى = r/4 عند نقطة الانعطاف.
يشرح منحنى S لماذا بدا الاعتماد الرقمي المبكر بطيئًا: عند P = 0.1 (اعتماد 10%)، dP/dt = r · 0.1 · 0.9 = 0.09r. عند P = 0.5 (الانعطاف)، dP/dt = 0.25r. ينمو النمو حتى يضربه قيد التشبع (1 − P) يسحبه للخلف.
نقطة الانعطاف و نصف العمر
اتبعت الدوائر المتكاملة الرقمية في الإلكترونيات الاستهلاكية منحنى لوجستي من حوالي 1975 إلى 1995، مع نقطة الانعطاف حول 1985.
افترض P(1975) = 0.05 و P(1985) = 0.50. باستخدام P(t) = 1 / (1 + e^(−r(t − t₀))) مع t₀ = 1985.