Ordini di Grandezza
La tabella dei costi di interconnessione di Hamming copre quattro livelli: on-chip ($0.00001), chip-to-chip ($0.01), board-to-board ($0.10), frame-to-frame ($1.00).
Su una scala lineare, questi valori sono quasi impossibili da confrontare visivamente — il costo on-chip è invisibile accanto al costo frame. Su una scala logaritmica, i passi uguali rappresentano rapporti uguali.
Scala Logaritmica
Se il costo C al livello k soddisfa log₁₀(C) = a + bk, allora C = 10^(a+bk) — un esponenziale in k, che traccia come una retta su una scala logaritmica.
Dai dati: log₁₀(0.00001) = −5, log₁₀(0.01) = −2, log₁₀(0.10) = −1, log₁₀(1.00) = 0. Ogni livello verso l'alto aggiunge circa 1-1,5 ordini di grandezza.
Calcolo della Pendenza
Tratta il livello di interconnessione come una variabile L: L=0 (on-chip), L=1 (chip), L=2 (board), L=3 (frame). Mappa i costi ai valori log₁₀: −5, −2, −1, 0.
Un adattamento ai minimi quadrati di log₁₀(costo) su L dà la pendenza: quanti ordini di grandezza per livello.
SNR & la Decisione di Soglia
Il rapporto segnale-rumore (SNR) misura la qualità di un canale di comunicazione:
SNR = potenza del segnale / potenza del rumore
In decibel: SNR_dB = 10 · log₁₀(SNR)
Per un canale analogico, l'SNR si degrada in modo additivo attraverso n stadi di relè. Se ogni stadio contribuisce potenza di rumore N₀, il rumore totale dopo n stadi: N_totale = n · N₀. SNR dopo n stadi: S / (n · N₀).
Per un canale digitale, ogni relè rigenerati il segnale alla potenza piena S₀ e reimposta il rumore a N₀. SNR dopo n stadi: S₀ / N₀ — indipendente da n.
L'interpretazione geometrica: l'SNR analogico cade come 1/n (decadimento iperbolico in n). L'SNR digitale rimane costante — una linea orizzontale nel grafico SNR rispetto a n.
Soglia: ad ogni relè digitale, la regola di decisione è: se voltaggio ricevuto > V_soglia, output 1; altrimenti output 0. La probabilità di errore ad un relè:
P_errore ≈ Q(V_soglia / σ_rumore)
dove Q è la probabilità della coda di una normale standard. Per SNR >> 1, P_errore si avvicina a zero in modo esponenziale.
Calcolo della Degradazione di SNR
Un collegamento in fibra ottica si estende per 1000 km. Progettazione analogica: un amplificatore ogni 10 km, ogni uno contribuisce rumore uguale N₀. Progettazione digitale: un rigeneratore ogni 10 km, ogni uno reimposta SNR a S₀/N₀ = 30 dB.
Dall'Esponenziale al Logistico
Le nuove tecnologie seguono un modello: adozione lenta all'inizio, accelerazione rapida, poi saturazione. Questa traiettoria a forma di S appare nei semiconduttori, nell'adozione di Internet, nei telefoni cellulari, & in ogni principale tecnologia di piattaforma.
Equazione Logistica
Sia P(t) = frazione di potenziali utenti che hanno adottato entro il tempo t. Il modello logistico:
dP/dt = r · P(t) · (1 − P(t))
Soluzione: P(t) = 1 / (1 + e^(−r(t − t₀)))
dove r = tasso di crescita, t₀ = punto di flesso (P = 0,5). A t = t₀: il tasso di crescita è massimo.
Caratteristiche geometriche: la curva passa per (t₀, 0,5); simmetrica rispetto a quel punto; si avvicina a 0 quando t → −∞ e a 1 quando t → +∞; pendenza massima = r/4 al flesso.
La curva S spiega perché l'adozione digitale iniziale sembrava lenta: a P = 0,1 (10% adozione), dP/dt = r · 0,1 · 0,9 = 0,09r. A P = 0,5 (flesso), dP/dt = 0,25r. La crescita accelera finché il vincolo di saturazione (1 − P) non la tira indietro.
Flesso & Tempo di Dimezzamento
L'adozione di IC digitali nell'elettronica di consumo ha seguito una curva logistica da circa il 1975 al 1995, con il punto di flesso intorno al 1985.
Supponiamo P(1975) = 0,05 e P(1985) = 0,50. Usando P(t) = 1 / (1 + e^(−r(t − t₀))) con t₀ = 1985.