परिमाण के क्रम
हैमिंग की इंटरकनेक्शन लागत तालिका चार स्तरों तक फैली हुई है: ऑन-चिप ($0.00001), चिप-टू-चिप ($0.01), बोर्ड-टू-बोर्ड ($0.10), फ्रेम-टू-फ्रेम ($1.00)।
एक रैखिक पैमाने पर, ये मान दृश्य रूप से तुलना करना लगभग असंभव है — ऑन-चिप लागत फ्रेम लागत के बगल में अदृश्य है। एक लॉगरिदमिक पैमाने पर, बराबर कदम बराबर अनुपातों का प्रतिनिधित्व करते हैं।
लॉगरिदमिक स्केल
यदि स्तर k पर लागत C, log₁₀(C) = a + bk को संतुष्ट करती है, तो C = 10^(a+bk) — k में एक घातीय, जो लॉग स्केल पर एक सीधी रेखा के रूप में प्लॉट होता है।
डेटा से: log₁₀(0.00001) = −5, log₁₀(0.01) = −2, log₁₀(0.10) = −1, log₁₀(1.00) = 0। प्रत्येक स्तर ऊपर लगभग 1-1.5 परिमाण के क्रम जोड़ता है।
ढलान की गणना
इंटरकनेक्शन स्तर को एक चर L के रूप में मानें: L=0 (ऑन-चिप), L=1 (चिप), L=2 (बोर्ड), L=3 (फ्रेम)। लागत को log₁₀ मानों से मैप करें: −5, −2, −1, 0।
log₁₀(cost) को L पर कम से कम वर्गों का फिट ढलान देता है: प्रति स्तर कितने परिमाण के क्रम।
SNR & थ्रेशहोल्ड निर्णय
सिग्नल-टू-नॉयज़ अनुपात (SNR) एक संचार चैनल की गुणवत्ता को मापता है:
SNR = सिग्नल शक्ति / नॉयज़ शक्ति
डेसिबल में: SNR_dB = 10 · log₁₀(SNR)
एक एनालॉग चैनल के लिए, SNR n रिले चरणों के माध्यम से योगात्मक रूप से ख़राब होता है। यदि प्रत्येक चरण नॉयज़ शक्ति N₀ में योगदान देता है, तो n चरणों के बाद कुल नॉयज़: N_total = n · N₀। n चरणों के बाद SNR: S / (n · N₀)।
एक डिजिटल चैनल के लिए, प्रत्येक रिले सिग्नल को पूर्ण शक्ति S₀ तक पुनः उत्पन्न करता है & नॉयज़ को N₀ तक रीसेट करता है। n चरणों के बाद SNR: S₀ / N₀ — n से स्वतंत्र।
ज्यामितीय व्याख्या: एनालॉग SNR n में हाइपरबोलिक क्षय के रूप में 1/n के रूप में गिरता है। डिजिटल SNR स्थिर रहता है — SNR बनाम n प्लॉट में एक क्षैतिज रेखा।
थ्रेशहोल्ड: प्रत्येक डिजिटल रिले पर, निर्णय नियम है: यदि प्राप्त वोल्टेज > V_threshold, तो आउटपुट 1; अन्यथा आउटपुट 0। एक रिले पर त्रुटि की संभावना:
P_error ≈ Q(V_threshold / σ_noise)
जहां Q एक मानक सामान्य की पूंछ संभावना है। SNR >> 1 के लिए, P_error घातीय रूप से शून्य के करीब पहुंचता है।
SNR क्षरण की गणना
एक फाइबर ऑप्टिक लिंक 1000 किमी तक फैला हुआ है। एनालॉग डिजाइन: हर 10 किमी पर एक एम्पलीफायर, प्रत्येक बराबर नॉयज़ N₀ में योगदान देता है। डिजिटल डिजाइन: हर 10 किमी पर एक पुनर्जनरेटर, प्रत्येक SNR को S₀/N₀ = 30 dB पर रीसेट करता है।
घातीय से लॉजिस्टिक तक
नई प्रौद्योगिकियां एक पैटर्न का पालन करती हैं: धीमी प्रारंभिक गोद लेना, तेजी से त्वरण, फिर संतृप्ति। यह एस-आकार का प्रक्षेपवक्र सेमीकंडक्टर, इंटरनेट गोद लेने, मोबाइल फोन, & हर प्रमुख प्लेटफॉर्म प्रौद्योगिकी में दिखाई देता है।
लॉजिस्टिक समीकरण
P(t) = समय t तक जो संभावित गोद लेने वाले अपनाया है उनका अंश। लॉजिस्टिक मॉडल:
dP/dt = r · P(t) · (1 − P(t))
समाधान: P(t) = 1 / (1 + e^(−r(t − t₀)))
जहां r = वृद्धि दर, t₀ = विभक्ति बिंदु (P = 0.5)। t = t₀ पर: वृद्धि दर अधिकतम है।
ज्यामितीय विशेषताएं: वक्र (t₀, 0.5) से गुजरता है; उस बिंदु के बारे में सममित; t → −∞ के रूप में 0 तक पहुंचता है & t → +∞ के रूप में 1 तक; विभक्ति पर अधिकतम ढलान = r/4।
एस-वक्र बताता है कि प्रारंभिक डिजिटल गोद लेना धीमा क्यों दिखता है: P = 0.1 (10% गोद लेना) पर, dP/dt = r · 0.1 · 0.9 = 0.09r। P = 0.5 (विभक्ति) पर, dP/dt = 0.25r। वृद्धि तब तक त्वरित होती है जब तक यह संतृप्ति बाधा (1 − P) इसे वापस खींचती है।
विभक्ति बिंदु & अर्ध-जीवन
उपभोक्ता इलेक्ट्रॉनिक्स में डिजिटल आईसी गोद लेना लगभग 1975 से 1995 तक एक लॉजिस्टिक वक्र का पालन करता था, विभक्ति बिंदु लगभग 1985 के आसपास।
P(1975) = 0.05 & P(1985) = 0.50 मान लें। t₀ = 1985 के साथ P(t) = 1 / (1 + e^(−r(t − t₀))) का उपयोग करते हुए।