Ordens de Magnitude
A tabela de custo de interconexão de Hamming abrange quatro níveis: no chip ($0,00001), chip para chip ($0,01), placa para placa ($0,10), frame para frame ($1,00).
Em uma escala linear, esses valores são quase impossíveis de comparar visualmente — o custo no chip é invisível ao lado do custo do frame. Em uma escala logarítmica, passos iguais representam razões iguais.
Escala Logarítmica
Se o custo C no nível k satisfaz log₁₀(C) = a + bk, então C = 10^(a+bk) — uma exponencial em k, que é plotada como uma linha reta em escala logarítmica.
A partir dos dados: log₁₀(0,00001) = −5, log₁₀(0,01) = −2, log₁₀(0,10) = −1, log₁₀(1,00) = 0. Cada nível adiciona aproximadamente 1-1,5 ordens de magnitude.
Calculando a Inclinação
Trate o nível de interconexão como uma variável L: L=0 (no chip), L=1 (chip), L=2 (placa), L=3 (frame). Mapeie custos para valores log₁₀: −5, −2, −1, 0.
Um ajuste de mínimos quadrados de log₁₀(custo) em L fornece a inclinação: quantas ordens de magnitude por nível.
SNR & a Decisão de Limiar
Razão sinal-ruído (SNR) mede a qualidade de um canal de comunicação:
SNR = potência de sinal / potência de ruído
Em decibéis: SNR_dB = 10 · log₁₀(SNR)
Para um canal analógico, SNR degrada adititivamente através de n estágios de repetidor. Se cada estágio contribui potência de ruído N₀, ruído total após n estágios: N_total = n · N₀. SNR após n estágios: S / (n · N₀).
Para um canal digital, cada repetidor regenera o sinal para potência total S₀ e reseta o ruído para N₀. SNR após n estágios: S₀ / N₀ — independente de n.
A interpretação geométrica: SNR analógico cai como 1/n (decaimento hiperbólico em n). SNR digital permanece constante — uma linha horizontal no gráfico SNR versus n.
Limiar: em cada repetidor digital, a regra de decisão é: se tensão recebida > V_limiar, saída 1; senão saída 0. A probabilidade de erro em um repetidor:
P_erro ≈ Q(V_limiar / σ_ruído)
onde Q é a probabilidade de cauda de uma normal padrão. Para SNR >> 1, P_erro se aproxima de zero exponencialmente.
Calculando a Degradação de SNR
Um link de fibra óptica abrange 1000 km. Design analógico: um amplificador a cada 10 km, cada um contribuindo ruído igual N₀. Design digital: um regenerador a cada 10 km, cada um resetando SNR para S₀/N₀ = 30 dB.
De Exponencial para Logístico
Novas tecnologias seguem um padrão: adoção lenta no início, aceleração rápida, depois saturação. Esta trajetória em forma de S aparece em semicondutores, adoção da internet, telefones móveis, & todas as principais tecnologias de plataforma.
Equação Logística
Seja P(t) = fração de adotantes potenciais que adotaram até o tempo t. O modelo logístico:
dP/dt = r · P(t) · (1 − P(t))
Solução: P(t) = 1 / (1 + e^(−r(t − t₀)))
onde r = taxa de crescimento, t₀ = ponto de inflexão (P = 0,5). Em t = t₀: taxa de crescimento é máxima.
Características geométricas: a curva passa por (t₀, 0,5); simétrica em relação a esse ponto; se aproxima de 0 conforme t → −∞ e 1 conforme t → +∞; inclinação máxima = r/4 no ponto de inflexão.
A curva S explica por que a adoção digital inicial parecia lenta: em P = 0,1 (10% de adoção), dP/dt = r · 0,1 · 0,9 = 0,09r. Em P = 0,5 (ponto de inflexão), dP/dt = 0,25r. O crescimento se acelera até que a saturação (1 − P) o puxa de volta.
Ponto de Inflexão & Meia-Vida
A adoção de CI digital em eletrônicos de consumo seguiu uma curva logística de aproximadamente 1975 a 1995, com o ponto de inflexão em torno de 1985.
Suponha P(1975) = 0,05 e P(1985) = 0,50. Usando P(t) = 1 / (1 + e^(−r(t − t₀))) com t₀ = 1985.