Orde Besaran
Tabel biaya interkoneksi Hamming mencakup empat level: pada-chip ($0.00001), chip-ke-chip ($0.01), board-ke-board ($0.10), frame-ke-frame ($1.00).
Pada skala linear, nilai-nilai ini hampir tidak mungkin dibandingkan secara visual — biaya pada-chip tidak terlihat dibandingkan dengan biaya frame. Pada skala logaritmik, langkah-langkah yang sama mewakili rasio yang sama.
Skala Logaritmik
Jika biaya C pada level k memenuhi log₁₀(C) = a + bk, maka C = 10^(a+bk) — eksponensial dalam k, yang digambarkan sebagai garis lurus pada skala logaritmik.
Dari data: log₁₀(0.00001) = −5, log₁₀(0.01) = −2, log₁₀(0.10) = −1, log₁₀(1.00) = 0. Setiap level ke atas menambahkan kira-kira 1-1.5 orde besaran.
Menghitung Kemiringan
Perlakukan level interkoneksi sebagai variabel L: L=0 (pada-chip), L=1 (chip), L=2 (board), L=3 (frame). Petakan biaya ke nilai log₁₀: −5, −2, −1, 0.
Cocok dengan kuadrat terkecil dari log₁₀(biaya) pada L memberikan kemiringan: berapa banyak orde besaran per level.
SNR & Keputusan Ambang
Rasio sinyal-terhadap-kebisingan (SNR) mengukur kualitas saluran komunikasi:
SNR = daya sinyal / daya kebisingan
Dalam desibel: SNR_dB = 10 · log₁₀(SNR)
Untuk saluran analog, SNR menurun secara aditif melalui n tahap relay. Jika setiap tahap berkontribusi daya kebisingan N₀, kebisingan total setelah n tahap: N_total = n · N₀. SNR setelah n tahap: S / (n · N₀).
Untuk saluran digital, setiap relay meregenerasi sinyal ke daya penuh S₀ dan mengatur ulang kebisingan ke N₀. SNR setelah n tahap: S₀ / N₀ — independen dari n.
Interpretasi geometris: SNR analog jatuh sebagai 1/n (peluruhan hiperbolik dalam n). SNR digital tetap konstan — garis horizontal dalam plot SNR vs n.
Ambang: di setiap relay digital, aturan keputusan adalah: jika tegangan yang diterima > V_threshold, keluarkan 1; sebaliknya keluarkan 0. Probabilitas kesalahan di satu relay:
P_error ≈ Q(V_threshold / σ_noise)
di mana Q adalah probabilitas ekor dari normal standar. Untuk SNR >> 1, P_error mendekati nol secara eksponensial.
Menghitung Degradasi SNR
Tautan serat optik mencakup 1000 km. Desain analog: satu amplifier setiap 10 km, masing-masing berkontribusi kebisingan N₀ yang sama. Desain digital: satu regenerator setiap 10 km, masing-masing mengatur ulang SNR ke S₀/N₀ = 30 dB.
Dari Eksponensial ke Logistik
Teknologi baru mengikuti pola: adopsi awal yang lambat, akselerasi cepat, kemudian saturasi. Lintasan berbentuk S ini muncul dalam semikonduktor, adopsi internet, ponsel, & setiap teknologi platform utama.
Persamaan Logistik
Misalkan P(t) = fraksi calon pengadopsi yang telah mengadopsi pada waktu t. Model logistik:
dP/dt = r · P(t) · (1 − P(t))
Solusi: P(t) = 1 / (1 + e^(−r(t − t₀)))
di mana r = laju pertumbuhan, t₀ = titik infleksi (P = 0.5). Pada t = t₀: laju pertumbuhan adalah maksimum.
Fitur geometris: kurva melewati (t₀, 0.5); simetris tentang titik itu; mendekati 0 saat t → −∞ dan 1 saat t → +∞; kemiringan maksimum = r/4 pada infleksi.
Kurva S menjelaskan mengapa adopsi digital awal terlihat lambat: pada P = 0.1 (adopsi 10%), dP/dt = r · 0.1 · 0.9 = 0.09r. Pada P = 0.5 (infleksi), dP/dt = 0.25r. Pertumbuhan mempercepat sampai mencapai batasan saturasi (1 − P) menariknya kembali.
Infleksi & Setengah Hidup
Adopsi IC digital dalam elektronik konsumen mengikuti kurva logistik kira-kira dari 1975 hingga 1995, dengan titik infleksi sekitar 1985.
Misalkan P(1975) = 0.05 dan P(1985) = 0.50. Menggunakan P(t) = 1 / (1 + e^(−r(t − t₀))) dengan t₀ = 1985.