Порядки величини
Таблиця вартості взаємозв'язків Хеммінга охоплює чотири рівні: на кристалі ($0.00001), кристал-кристал ($0.01), плата-плата ($0.10), кадр-кадр ($1.00).
На лінійній шкалі ці значення майже неможливо порівняти візуально — вартість на кристалі невидима поряд з вартістю кадру. На логарифмічній шкалі рівні кроки представляють рівні відношення.
Логарифмічна шкала
Якщо вартість C на рівні k задовольняє log₁₀(C) = a + bk, то C = 10^(a+bk) — експонента в k, яка будується як пряма лінія на логарифмічній шкалі.
З даних: log₁₀(0.00001) = −5, log₁₀(0.01) = −2, log₁₀(0.10) = −1, log₁₀(1.00) = 0. Кожен рівень вище додає приблизно 1-1.5 порядків величини.
Обчислення нахилу
Розглядайте рівень взаємозв'язку як змінну L: L=0 (на кристалі), L=1 (кристал), L=2 (плата), L=3 (кадр). Відобразьте вартість на значення log₁₀: −5, −2, −1, 0.
Підгонка найменших квадратів log₁₀(вартість) на L дає нахил: скільки порядків величини на рівень.
Співвідношення сигнал-шум та рішення порогу
Співвідношення сигнал-шум (SNR) вимірює якість канальної комунікації:
SNR = signal power / noise power
In decibels: SNR_dB = 10 · log₁₀(SNR)
Для аналогового каналу SNR деградує адитивно через n релейних етапів. Якщо кожен етап вносить потужність шуму N₀, загальний шум після n етапів: N_total = n · N₀. Співвідношення сигнал-шум після n етапів: S / (n · N₀).
Для цифрового каналу кожне реле регенерує сигнал до повної потужності S₀ і скидає шум на N₀. Співвідношення сигнал-шум після n етапів: S₀ / N₀ — незалежне від n.
Геометрична інтерпретація: аналогове SNR падає як 1/n (гіперболічне затухання в n). Цифрове SNR залишається постійним — горизонтальна лінія на графіку SNR проти n.
Поріг: на кожному цифровому реле правило рішення: якщо отримана напруга > V_порог, вивід 1; інакше вивід 0. Ймовірність помилки на одному реле:
P_error ≈ Q(V_threshold / σ_noise)
де Q — це ймовірність хвоста стандартного нормального розподілу. Для SNR >> 1, P_error наближається до нуля експоненціально.
Обчислення деградації співвідношення сигнал-шум
Волоконно-оптичний канал охоплює 1000 км. Аналоговий дизайн: один підсилювач кожні 10 км, кожен вносить рівний шум N₀. Цифровий дизайн: один регенератор кожні 10 км, кожен скидає SNR на S₀/N₀ = 30 дБ.
Від експоненти до логістики
Нові технології дотримуються закономірності: повільна ранна адоптація, швидке прискорення, потім насичення. Ця S-подібна траєкторія з'являється в напівпровідниках, адоптації інтернету, мобільних телефонах та кожній основній технології платформи.
Логістичне рівняння
Let P(t) = fraction of potential adopters who have adopted by time t. The logistic model:
dP/dt = r · P(t) · (1 − P(t))
Solution: P(t) = 1 / (1 + e^(−r(t − t₀)))
де r = темп зростання, t₀ = точка перегину (P = 0.5). При t = t₀: темп зростання максимальний.
Геометричні особливості: крива проходить через (t₀, 0.5); симетрична щодо цієї точки; наближається до 0 при t → −∞ та до 1 при t → +∞; максимальний нахил = r/4 в точці перегину.
S-крива пояснює, чому рання цифрова адоптація виглядала повільною: при P = 0.1 (10% адоптація), dP/dt = r · 0.1 · 0.9 = 0.09r. При P = 0.5 (перегин), dP/dt = 0.25r. Зростання прискорюється доки воно не попадає на обмеження насичення (1 − P) тягне його назад.
Перегин та напіврозпаду
Адоптація цифрових інтегральних схем в побутовій електроніці дотримувалась логістичної кривої з приблизно 1975 по 1995, з точкою перегину близько 1985.
Припустимо, що P(1975) = 0.05 та P(1985) = 0.50. Використовуючи P(t) = 1 / (1 + e^(−r(t − t₀))) з t₀ = 1985.