Độ tế nhị
Bảng chi phí kết nối của Hamming bao gồm bốn cấp độ: trên chip ($0,00001), chip-to-chip ($0,01), board-to-board ($0,10), frame-to-frame ($1,00).
Trên thang tuyến tính, các giá trị này gần như không thể so sánh trực quan — chi phí trên chip không nhìn thấy được so với chi phí khung. Trên thang logarit, các bước bằng nhau biểu diễn các tỉ số bằng nhau.
Thang Logarit
Nếu chi phí C ở cấp độ k thỏa mãn log₁₀(C) = a + bk, thì C = 10^(a+bk) — một hàm mũ trong k, được vẽ dưới dạng một đường thẳng trên thang logarit.
Từ dữ liệu: log₁₀(0,00001) = −5, log₁₀(0,01) = −2, log₁₀(0,10) = −1, log₁₀(1,00) = 0. Mỗi cấp độ lên thêm khoảng 1-1,5 độ tế nhị.
Tính toán Độ dốc
Coi cấp độ kết nối là biến L: L=0 (trên chip), L=1 (chip), L=2 (board), L=3 (khung). Ánh xạ chi phí thành giá trị log₁₀: −5, −2, −1, 0.
Một phù hợp bình phương tối thiểu của log₁₀(chi phí) trên L cho độ dốc: bao nhiêu độ tế nhị trên mỗi cấp độ.
SNR & Quyết định Ngưỡng
Tỉ số tín hiệu-tiếng ồn (SNR) đo lường chất lượng của một kênh truyền thông:
SNR = công suất tín hiệu / công suất tiếng ồn
Tính theo decibel: SNR_dB = 10 · log₁₀(SNR)
Đối với kênh tương tự, SNR suy giảm một cách cộng tính qua n giai đoạn tiếp sóng. Nếu mỗi giai đoạn đóng góp công suất tiếng ồn N₀, tổng tiếng ồn sau n giai đoạn: N_total = n · N₀. SNR sau n giai đoạn: S / (n · N₀).
Đối với kênh kỹ thuật số, mỗi tiếp sóng tái tạo tín hiệu ở công suất toàn phần S₀ và đặt lại tiếng ồn thành N₀. SNR sau n giai đoạn: S₀ / N₀ — độc lập với n.
Giải thích hình học: SNR tương tự giảm xuống 1/n (suy giảm hyperbolic theo n). SNR kỹ thuật số vẫn không đổi — một đường nằm ngang trong biểu đồ SNR vs n.
Ngưỡng: tại mỗi tiếp sóng kỹ thuật số, quy tắc quyết định là: nếu điện áp nhận được > V_threshold, xuất 1; nếu không thì xuất 0. Xác suất lỗi tại một tiếp sóng:
P_error ≈ Q(V_threshold / σ_noise)
trong đó Q là xác suất đuôi của phân phối chuẩn. Đối với SNR >> 1, P_error tiến tới không theo cấp số nhân.
Tính toán Suy giảm SNR
Một liên kết cáp quang kéo dài 1000 km. Thiết kế tương tự: một bộ khuếch đại mỗi 10 km, mỗi bộ đóng góp tiếng ồn bằng nhau N₀. Thiết kế kỹ thuật số: một bộ tái tạo mỗi 10 km, mỗi bộ đặt lại SNR thành S₀/N₀ = 30 dB.
Từ Hàm mũ đến Logistic
Công nghệ mới tuân theo một mô hình: sự áp dụng chậm sớm, tăng tốc nhanh, sau đó bão hòa. Quỹ đạo hình chữ S này xuất hiện trong bán dẫn, sự áp dụng internet, điện thoại di động, & mọi công nghệ nền tảng lớn.
Phương trình Logistic
Gọi P(t) = phần của những người có khả năng áp dụng đã áp dụng theo thời gian t. Mô hình logistic:
dP/dt = r · P(t) · (1 − P(t))
Giải: P(t) = 1 / (1 + e^(−r(t − t₀)))
trong đó r = tỷ lệ tăng trưởng, t₀ = điểm uốn (P = 0,5). Tại t = t₀: tỷ lệ tăng trưởng là tối đa.
Các đặc trưng hình học: đường cong đi qua (t₀, 0,5); đối xứng về điểm đó; tiếp cận 0 khi t → −∞ và 1 khi t → +∞; độ dốc tối đa = r/4 tại điểm uốn.
Đường cong S giải thích tại sao sự áp dụng kỹ thuật số sớm trông chậm: tại P = 0,1 (10% áp dụng), dP/dt = r · 0,1 · 0,9 = 0,09r. Tại P = 0,5 (uốn), dP/dt = 0,25r. Tăng trưởng tăng tốc cho đến khi nó va chạm với ràng buộc bão hòa (1 − P) kéo nó lại.
Uốn & Bán thời gian
Sự áp dụng IC kỹ thuật số trong điện tử tiêu dùng theo một đường cong logistic từ khoảng 1975 đến 1995, với điểm uốn xung quanh năm 1985.
Giả sử P(1975) = 0,05 và P(1985) = 0,50. Sử dụng P(t) = 1 / (1 + e^(−r(t − t₀))) với t₀ = 1985.