Z平面作為設計空間
Z變換將濾波器的係數序列轉換為複變數z的多項式(或有理函數)。傳遞函數H(z)具有：
- 零點：值z_k，其中H(z_k) = 0
- 極點：值p_k，其中H(z) → ∞(遞迴濾波器的分母根)
在單位圓z = e^{i2πf}上評估H(z)得到頻率響應H(f)。單位圓是時域穩定性與頻域分析相交的邊界。
距離乘積公式
|H(f)| = ∏_k |e^{i2πf} − z_k| / ∏_k |e^{i2πf} − p_k|
從圖表讀取響應：
- 零點在圓上：距離 = 0 → 完全零值
- 零點在圓內：距離 > 0 → 在該角度附近部分衰減
- 極點接近圓：小分母 → 大增益(峰值)
- 極點在圓外：濾波器不穩定(僅限IIR)
零點設計以實現零值
要完全抑制頻率f_0：在z_0 = e^{i2πf_0}處放置零點。
要抑制f_0與其共軛頻率(對於實係數濾波器)：在e^{±i2πf_0}處放置零點。複數零點對於實係數濾波器必須成對共軛出現。
每個零點在分子上添加一個因子：(z − z_0)。在N個頻率處產生零值的濾波器有N個零點。
極點增強響應
極點在z = p處對H(z)貢獻因子1/(z − p)。在最接近p的單位圓點附近，|e^{i2πf} − p|很小，使|H(f)|很大。極點越接近單位圓，峰值越尖銳。
穩定性邊界
對於遞迴(IIR)濾波器，系統穩定當且僅當所有極點都嚴格位於單位圓內(|p| < 1)。在|p| = 1處的極點產生持續振蕩(邊際穩定)。在|p| > 1處的極點產生漸增振蕩(不穩定)。
單位圓在Z平面中作為穩定性邊界，就像虛軸在連續時間系統的Laplace s平面中作為穩定性邊界一樣。
Hamming的反饋淋浴故事
Hamming用需要找到正確溫度的淋浴來說明穩定性。管道延遲意味著他的修正到達太晚——他不斷超調。反饋迴路變得不穩定。IIR濾波器面臨同樣的風險：過多的反饋(極點太接近或超出單位圓)導致輸出發散。
從極點位置判斷穩定性
二階IIR濾波器的傳遞函數為：
H(z) = 1 / (1 − a₁z⁻¹ − a₂z⁻²) = z² / (z² − a₁z − a₂)
極點是z² − a₁z − a₂ = 0的根。
穩定性：|p₁| < 1且|p₂| < 1以滿足兩個根。
圖形設計方法
經驗豐富的濾波器設計人員在計算任何東西之前先繪製極點-零點圖。幾何立即顯示響應形狀。
設計經驗法則
1. 在不需要的頻率處產生零值：在這些角度的單位圓上放置零點。
2. 通帶帶增益：在所需通帶角度附近(但在單位圓內)放置極點。
3. 實係數：確保所有複數零點 & 極點成對共軛出現。
4. 穩定性檢查：在計算係數之前驗證所有極點滿足|p| < 1。
5. 過渡寬度：極點越接近單位圓 → 過渡越尖銳但穩定性餘量越小。
圖形方法將工程規範(通過這些頻率，停止那些頻率，具有這個紋波)轉換為幾何約束(在這裡放置極點 & 零點)，然後讀取多項式係數。