Z-площина як простір для дизайну
Z-перетворення перетворює послідовність коефіцієнтів фільтра в поліном (або раціональну функцію) комплексної змінної z. Передавальна функція H(z) має:
- Нулі: значення z_k, де H(z_k) = 0
- Полюси: значення p_k, де H(z) → ∞ (корені знаменника для рекурсивних фільтрів)
Обчислення H(z) на одиничному колі z = e^{i2πf} дає частотну відповідь H(f). Одиничне коло — це межа, де перетинаються стійкість у часовій області та аналіз у частотній області.
Формула добутку відстаней
|H(f)| = ∏_k |e^{i2πf} − z_k| / ∏_k |e^{i2πf} − p_k|
Читання відповіді з графіка:
- Нуль НА колі: відстань = 0 → повне глушення
- Нуль ВСЕРЕДИНІ кола: відстань > 0 → часткове послаблення біля цього кута
- Полюс БЛИЗЬКО до кола: малий знаменник → великий коефіцієнт посилення (пік)
- Полюс ЗОВНІ кола: фільтр нестійкий (лише IIR)
Проектування нулів для глушення
Щоб повністю глушити частоту f_0: помістіть нуль у z_0 = e^{i2πf_0}.
Щоб глушити як f_0, так і її спряжену частоту (для фільтра з дійсними коефіцієнтами): помістіть нулі у e^{±i2πf_0}. Комплексні нулі повинні з'являтися в спряжених парах для фільтрів з дійсними коефіцієнтами.
Кожен нуль додає один множник до чисельника: (z − z_0). Фільтр, який глушить N частот, має N нулів.
Полюси підсилюють відповідь
Полюс у z = p вносить множник 1/(z − p) до H(z). Поблизу точки одиничного кола, найближчої до p, |e^{i2πf} − p| невеликий, що робить |H(f)| великим. Чим ближче полюс до одиничного кола, тим різкіший пік.
Межа стійкості
Для рекурсивного (IIR) фільтра система стійка тоді й тільки тоді, коли всі полюси лежать суворо всередині одиничного кола (|p| < 1). Полюс при |p| = 1 виробляє тривалі коливання (граничносійкий). Полюс при |p| > 1 виробляє зростаючі коливання (нестійкий).
Одиничне коло служить межею стійкості в Z-площині, як уявна вісь служить межею стійкості в площині Лапласа s для систем неперервного часу.
Історія про гарячу воду Хеммінга зі зворотним зв'язком
Хеммінг проілюстрував стійкість на прикладі гарячої води, для якої потрібно було знайти правильну температуру. Затримка в трубі означала, що його корекції приходили з запізненням — він постійно перелицьовував. Контур зворотного зв'язку став нестійким. IIR фільтри стикаються з такою ж ризиком: надто багато зворотного зв'язку (полюси занадто близько або поза одиничним колом) і вихід розходиться.
Стійкість за розташуванням полюсів
Фільтр IIR другого порядку має передавальну функцію:
H(z) = 1 / (1 − a₁z⁻¹ − a₂z⁻²) = z² / (z² − a₁z − a₂)
Полюси — це корені z² − a₁z − a₂ = 0.
Стійкість: |p₁| < 1 та |p₂| < 1 для обох коренів.
Метод графічного дизайну
Досвідчені конструктори фільтрів малюють графіки полюс-нуль перед будь-якими обчисленнями. Геометрія миттєво розкриває форму відповіді.
Правила палиці для проектування
1. Глушення на небажаних частотах: розмістіть нулі на одиничному колі під цими кутами.
2. Смуга пропускання з посиленням: розмістіть полюси близько (але всередині) одиничного кола під бажаним кутом смуги пропускання.
3. Дійсні коефіцієнти: переконайтеся, що всі комплексні нулі та полюси з'являються в спряжених парах.
4. Перевірка стійкості: переконайтеся, що всі полюси задовольняють |p| < 1 перед обчисленням коефіцієнтів.
5. Ширина переходу: полюси ближче до одиничного кола → різкіший перехід, але менша маржа стійкості.
Графічний метод перетворює інженерну специфікацію (пропустіть ці частоти, зупиніть ті, з цією пульсацією) на геометричне обмеження (розмістіть полюси та нулі тут), потім читає коефіцієнти полінома.