Die Z-Ebene als Designraum
Die Z-Transformation wandelt eine Filterkoeffizientenfolge in einen Polynom (oder rationale Funktion) im komplexen Variablen z um. Die Übertragungsfunktion H(z) hat:
- Nullstellen: Werte z_k, wo H(z_k) = 0
- Polstellen: Werte p_k, wo H(z) → ∞ (Nennerwurzeln für rekursive Filter)
Die Bewertung von H(z) auf dem Einheitskreis z = e^{i2πf} gibt die Frequenzantwort H(f) her. Der Einheitskreis ist die Grenze, an der Zeitbereichsstabilität und Frequenzbereichsanalyse zusammenfinden.
Die Distanz-Produkt-Formel
|H(f)| = ∏_k |e^{i2πf} − z_k| / ∏_k |e^{i2πf} − p_k|
Lesen Sie die Antwort von dem Diagramm ab:
- Nullstelle auf dem Kreis: Entfernung = 0 → vollständiger Null
- Nullstelle INNEN dem Kreis: Entfernung > 0 → teilweises Abschwächen in der Nähe des Winkels
- Polnahe STELLE NEAR dem Kreis: kleiner Nenner → große Verstärkung (Gipfel)
- Pol STELLE AUSSEN dem Kreis: Filter ist unstabil (nur IIR)
Entwerfen von Nullstellen für Nulle
Um eine Frequenz f_0 vollständig zu nullen: Platzieren Sie eine Nullstelle bei z_0 = e^{i2πf_0}.
Um sowohl f_0 als auch die konjugierte Frequenz (für ein realkoeffizienten-Filter) zu nullen: Platzieren Sie Nullstellen bei e^{±i2πf_0}. Komplexe Nullstellen müssen in konjugierten Paaren für realkoeffizienten-Filter vorkommen.
Jede Nullstelle fügt einem Faktor zum Nenner hinzu: (z − z_0). Ein Filter, der N Frequenzen nullt, hat N Nullstellen.
Polen verstärken die Antwort
Ein Pol an z = p trägt einen Faktor 1/(z − p) zu H(z) bei. In der Nähe des Einheitskreispunktes, der am nächsten bei p liegt, ist |e^{i2πf} − p| klein, was |H(f)| erhöht. Je näher der Pol an den Einheitskreis, desto schärfer ist der Gipfel.
Stabilitätsgrenze
Für einen rekursiven (IIR)-Filter ist das System stabil, wenn und nur wenn alle Polen innerhalb des Einheitskreises liegen (|p| < 1). Ein Pol an |p| = 1 erzeugt eine anhaltende Schwingung (marginal stabil). Ein Pol an |p| > 1 erzeugt wachsende Schwingungen (unstabil).
Der Einheitskreis dient als Stabilitätsgrenze im Z-Plan, genau wie die imaginäre Achse als Stabilitätsgrenze im Laplace s-Plan für stetige Systeme.
Hamming's Feedback Duschgeschichten
Hamming illustrierte die Stabilität mit einer Dusche, die das richtige Temperatur finden musste. Der Rohrverzug bedeutete, dass seine Korrekturen verspätet eintrafen - er übertrieb ständig. Der Rückkopplungslauf wurde unstabil. IIR-Filter sind vor demselben Risiko: Zu viel Rückkopplung (Pol zu nahe am oder außerhalb des Einheitskreises) und die Ausgabe divergiert.
Stabilität aus Polpositionen
Ein zweiter-Ordnung-IIR-Filter hat die Übertragungsfunktion:
H(z) = 1 / (1 − a₁z⁻¹ − a₂z⁻²) = z² / (z² − a₁z − a₂)
Die Polen sind die Wurzeln von z² − a₁z − a₂ = 0.
Stabilität: |p₁| < 1 und |p₂| < 1 für beide Wurzeln.
Das graphische Designverfahren
Erfahrene Filterdesigner zeichnen Polnull-Diagramme vor der Berechnung. Die Geometrie zeigt die Form der Antwort sofort.
Designregeln von Hand
1. Nullstellen bei unerwünschten Frequenzen: Platzieren Sie Nullstellen auf dem Einheitskreis an diesen Winkeln.
2. Passband mit Verstärkung: Platzieren Sie Polynome in der Nähe (aber innerhalb) des Einheitskreises an der gewünschten Passbandwinkel.
3. Reelle Koeffizienten: stellen sicher, dass alle komplexen Nullstellen und Polynome in konjugierten Paaren auftreten.
4. Stabilitätsprüfung: stellen Sie sicher, dass alle Polynome die Bedingung |p| < 1 erfüllen, bevor Sie die Koeffizienten berechnen.
5. Übergangsbreite: Polynome näher am Einheitskreis → schärfere Übergänge, aber geringere Stabilitätsschranken.
Das graphische Verfahren wandelt die technische Spezifikation (durchlaufen Sie diese Frequenzen, stoppen Sie diese, mit diesem Rauschen) in eine geometrische Einschränkung (setzen Sie Polynome & Nullstellen hier) um und liest die Koeffizienten des Polynoms ab.