ज्यामितीय डिजाइन स्थान के रूप में Z-तल
Z-रूपांतरण एक फिल्टर के गुणांक अनुक्रम को जटिल चर z में एक बहुपद (या तर्कसंगत फलन) में परिवर्तित करता है। ट्रांसफर फलन H(z) के पास है:
- शून्य: मान z_k जहाँ H(z_k) = 0
- ध्रुव: मान p_k जहाँ H(z) → ∞ (पुनरावर्ती फिल्टर के लिए हर के मूल)
इकाई वृत्त z = e^{i2πf} पर H(z) का मूल्यांकन आवृत्ति प्रतिक्रिया H(f) देता है। इकाई वृत्त वह सीमा है जहाँ समय-क्षेत्र स्थिरता & आवृत्ति-क्षेत्र विश्लेषण प्रतिच्छेद करते हैं।
दूरी-उत्पाद सूत्र
|H(f)| = ∏_k |e^{i2πf} − z_k| / ∏_k |e^{i2πf} − p_k|
आरेख से प्रतिक्रिया को पढ़ना:
- शून्य वृत्त पर: दूरी = 0 → पूर्ण शून्यकरण
- शून्य वृत्त के अंदर: दूरी > 0 → उस कोण के पास आंशिक क्षीणन
- ध्रुव वृत्त के पास: छोटा हर → बड़ा लाभ (शिखर)
- ध्रुव वृत्त के बाहर: फिल्टर अस्थिर (केवल IIR)
शून्य को शून्यकरण के लिए डिज़ाइन करना
आवृत्ति f_0 को पूरी तरह से शून्य करने के लिए: z_0 = e^{i2πf_0} पर एक शून्य रखें।
f_0 और इसकी संयुग्मी आवृत्ति दोनों को शून्य करने के लिए (वास्तविक-गुणांक फिल्टर के लिए): e^{±i2πf_0} पर शून्य रखें। वास्तविक-गुणांक फिल्टर के लिए जटिल शून्य संयुग्मी जोड़े में आने चाहिए।
प्रत्येक शून्य अंश में एक कारक जोड़ता है: (z − z_0)। एक फिल्टर जो N आवृत्तियों को शून्य करता है N शून्य हैं।
ध्रुव प्रतिक्रिया को बढ़ाते हैं
H(z) में z = p पर एक ध्रुव कारक 1/(z − p) में योगदान देता है। p के निकटतम इकाई वृत्त बिंदु के पास, |e^{i2πf} − p| छोटा है, जिससे |H(f)| बड़ा होता है। ध्रुव जितना अधिक इकाई वृत्त के पास होता है, शिखर उतना तीव्र होता है।
स्थिरता सीमा
एक पुनरावर्ती (IIR) फिल्टर के लिए, सिस्टम स्थिर है यदि & केवल यदि सभी ध्रुव सख्ती से इकाई वृत्त के अंदर हैं (|p| < 1)। |p| = 1 पर एक ध्रुव स्थायी दोलन (सीमांत रूप से स्थिर) का उत्पादन करता है। |p| > 1 पर एक ध्रुव बढ़ते दोलन (अस्थिर) का उत्पादन करता है।
इकाई वृत्त Z-तल में स्थिरता सीमा के रूप में कार्य करता है, जैसे काल्पनिक अक्ष सतत-समय प्रणालियों के लिए लाप्लास s-तल में स्थिरता सीमा के रूप में कार्य करता है।
Hamming की फीडबैक शावर कहानी
Hamming ने एक शावर के साथ स्थिरता को दर्शाया जिसे सही तापमान खोजने की आवश्यकता था। पाइप विलंब का मतलब था कि उसके सुधार देर से आए — वह लगातार अतिशूट कर रहा था। फीडबैक लूप अस्थिर हो गया। IIR फिल्टर समान जोखिम का सामना करते हैं: बहुत अधिक फीडबैक (ध्रुव इकाई वृत्त के बहुत पास या बाहर) और आउटपुट विचलित होता है।
ध्रुव स्थानों से स्थिरता
दूसरे क्रम का IIR फिल्टर ट्रांसफर फलन रखता है:
H(z) = 1 / (1 − a₁z⁻¹ − a₂z⁻²) = z² / (z² − a₁z − a₂)
ध्रुव z² − a₁z − a₂ = 0 के मूल हैं।
स्थिरता: |p₁| < 1 और |p₂| < 1 दोनों मूलों के लिए।
आलेखीय डिजाइन विधि
अनुभवी फिल्टर डिजाइनर कुछ भी गणना करने से पहले ध्रुव-शून्य भूखंड स्केच करते हैं। ज्यामिति तुरंत प्रतिक्रिया आकार को प्रकट करती है।
डिजाइन के सामान्य नियम
1. अवांछित आवृत्तियों पर शून्य: उन कोणों पर इकाई वृत्त पर शून्य रखें।
2. लाभ के साथ पास्सबैंड: वांछित पास्सबैंड कोण पर (लेकिन अंदर) इकाई वृत्त के पास ध्रुव रखें।
3. वास्तविक गुणांक: सुनिश्चित करें कि सभी जटिल शून्य & ध्रुव संयुग्मी जोड़े में दिखाई दें।
4. स्थिरता जाँच: गुणांक की गणना करने से पहले यह सत्यापित करें कि सभी ध्रुव |p| < 1 को संतुष्ट करते हैं।
5. संक्रमण चौड़ाई: ध्रुव इकाई वृत्त के करीब → तीव्र संक्रमण लेकिन कम स्थिरता मार्जिन।
आलेखीय विधि इंजीनियरिंग विनिर्देश (ये आवृत्तियों को पास करें, उन्हें रोकें, इस लहर के साथ) को ज्यामितीय बाधा (ध्रुव & शून्य यहाँ रखें) में परिवर्तित करती है, फिर बहुपद गुणांक को पढ़ते हैं।