Le plan Z comme espace de conception
La transformée Z convertit la séquence de coefficients d'un filtre en un polynôme (ou fonction rationnelle) de la variable complexe z. La fonction de transfert H(z) a :
- Zéros : valeurs z_k où H(z_k) = 0
- Pôles : valeurs p_k où H(z) → ∞ (racines du dénominateur pour les filtres récursifs)
L'évaluation de H(z) sur le cercle unité z = e^{i2πf} donne la réponse en fréquence H(f). Le cercle unité est la limite où la stabilité du domaine temporel et l'analyse du domaine fréquentiel se croisent.
La formule du produit des distances
|H(f)| = ∏_k |e^{i2πf} − z_k| / ∏_k |e^{i2πf} − p_k|
Lecture de la réponse à partir du diagramme :
- Zéro sur le cercle : distance = 0 → annulation complète
- Zéro à l'intérieur du cercle : distance > 0 → atténuation partielle près de cet angle
- Pôle près du cercle : petit dénominateur → grand gain (pic)
- Pôle en dehors du cercle : filtre instable (IIR uniquement)
Conception de zéros pour les annulations
Pour annuler complètement la fréquence f_0 : placer un zéro à z_0 = e^{i2πf_0}.
Pour annuler à la fois f_0 et sa fréquence conjuguée (pour un filtre à coefficients réels) : placer des zéros à e^{±i2πf_0}. Les zéros complexes doivent se présenter par paires conjuguées pour les coefficients réels.
Chaque zéro ajoute un facteur au numérateur : (z − z_0). Un filtre qui annule N fréquences a N zéros.
Les pôles amplifient la réponse
Un pôle à z = p contribue un facteur 1/(z − p) à H(z). Près du point du cercle unité le plus proche de p, |e^{i2πf} − p| est petit, ce qui rend |H(f)| grand. Plus le pôle est proche du cercle unité, plus le pic est abrupt.
Limite de stabilité
Pour un filtre récursif (IIR), le système est stable si et seulement si tous les pôles se trouvent strictement à l'intérieur du cercle unité (|p| < 1). Un pôle à |p| = 1 produit une oscillation soutenue (marginalement stable). Un pôle à |p| > 1 produit une oscillation croissante (instable).
Le cercle unité sert de limite de stabilité dans le plan Z, tout comme l'axe imaginaire sert de limite de stabilité dans le plan s de Laplace pour les systèmes à temps continu.
L'histoire de la douche avec rétroaction de Hamming
Hamming a illustré la stabilité avec une douche qui nécessitait de trouver la bonne température. Le délai du tuyau signifiait que ses corrections arrivaient tard — il ne cessait de dépasser. La boucle de rétroaction est devenue instable. Les filtres IIR font face au même risque : trop de rétroaction (pôles trop proches ou en dehors du cercle unité) et la sortie diverge.
Stabilité à partir des emplacements des pôles
Un filtre IIR du deuxième ordre a la fonction de transfert :
H(z) = 1 / (1 − a₁z⁻¹ − a₂z⁻²) = z² / (z² − a₁z − a₂)
Les pôles sont les racines de z² − a₁z − a₂ = 0.
Stabilité : |p₁| < 1 et |p₂| < 1 pour les deux racines.
La méthode de conception graphique
Les concepteurs de filtres expérimentés esquissent les diagrammes pôles-zéros avant de calculer quoi que ce soit. La géométrie révèle instantanément la forme de la réponse.
Règles empiriques de conception
1. Annulations à des fréquences indésirables : placer des zéros sur le cercle unité aux angles correspondants.
2. Bande passante avec gain : placer des pôles près (mais à l'intérieur) du cercle unité à l'angle de bande passante souhaité.
3. Coefficients réels : s'assurer que tous les zéros et pôles complexes apparaissent par paires conjuguées.
4. Vérification de la stabilité : vérifier que tous les pôles satisfont |p| < 1 avant de calculer les coefficients.
5. Largeur de transition : les pôles plus proches du cercle unité → transition plus abrupte mais moins de marge de stabilité.
La méthode graphique convertit la spécification d'ingénierie (passer ces fréquences, arrêter celles-ci, avec cette ondulation) en une contrainte géométrique (placer les pôles et zéros ici), puis lit les coefficients du polynôme.