Bidang-Z sebagai Ruang Desain
Transformasi-Z mengonversi urutan koefisien filter menjadi polinomial (atau fungsi rasional) dalam variabel kompleks z. Fungsi transfer H(z) memiliki:
- Zero: nilai z_k di mana H(z_k) = 0
- Pole: nilai p_k di mana H(z) → ∞ (akar penyebut untuk filter rekursif)
Mengevaluasi H(z) pada lingkaran satuan z = e^{i2πf} memberikan respons frekuensi H(f). Lingkaran satuan adalah batas di mana stabilitas domain-waktu & analisis domain-frekuensi bersinggungan.
Rumus Hasil-Kali Jarak
|H(f)| = ∏_k |e^{i2πf} − z_k| / ∏_k |e^{i2πf} − p_k|
Membaca respons dari plot:
- Zero PADA lingkaran: jarak = 0 → pembatalan lengkap
- Zero DALAM lingkaran: jarak > 0 → pelemahan parsial di dekat sudut tersebut
- Pole DEKAT lingkaran: penyebut kecil → gain besar (puncak)
- Pole DI LUAR lingkaran: filter tidak stabil (hanya IIR)
Merancang Zero untuk Pembatalan
Untuk membatalkan frekuensi f_0 sepenuhnya: tempatkan zero pada z_0 = e^{i2πf_0}.
Untuk membatalkan f_0 & frekuensi konjugatnya (untuk filter koefisien-real): tempatkan zero pada e^{±i2πf_0}. Zero kompleks harus datang dalam pasangan konjugat untuk koefisien real.
Setiap zero menambahkan satu faktor pada pembilang: (z − z_0). Filter yang membatalkan N frekuensi memiliki N zero.
Pole Meningkatkan Respons
Pole pada z = p berkontribusi faktor 1/(z − p) pada H(z). Di dekat titik lingkaran satuan yang paling dekat dengan p, |e^{i2πf} − p| kecil, membuat |H(f)| besar. Semakin dekat pole ke lingkaran satuan, semakin tajam puncaknya.
Batas Stabilitas
Untuk filter rekursif (IIR), sistem stabil jika & hanya jika semua pole terletak ketat di dalam lingkaran satuan (|p| < 1). Pole pada |p| = 1 menghasilkan osilasi berkelanjutan (marginally stable). Pole pada |p| > 1 menghasilkan osilasi yang berkembang (tidak stabil).
Lingkaran satuan berfungsi sebagai batas stabilitas dalam bidang-Z, seperti halnya sumbu imajiner berfungsi sebagai batas stabilitas dalam bidang-s Laplace untuk sistem waktu-kontinu.
Cerita Shower Umpan Balik Hamming
Hamming mengilustrasikan stabilitas dengan shower yang memerlukan pencarian suhu yang tepat. Penundaan pipa berarti koreksinya tiba terlambat — dia terus melampaui. Loop umpan balik menjadi tidak stabil. Filter IIR menghadapi risiko yang sama: terlalu banyak umpan balik (pole terlalu dekat dengan atau di luar lingkaran satuan) & output menyimpang.
Stabilitas dari Lokasi Pole
Filter IIR orde-dua memiliki fungsi transfer:
H(z) = 1 / (1 − a₁z⁻¹ − a₂z⁻²) = z² / (z² − a₁z − a₂)
Pole adalah akar dari z² − a₁z − a₂ = 0.
Stabilitas: |p₁| < 1 & |p₂| < 1 untuk kedua akar.
Metode Desain Grafis
Desainer filter berpengalaman membuat sketsa plot pole-zero sebelum menghitung apa pun. Geometri mengungkapkan bentuk respons dengan instan.
Aturan Praktis Desain
1. Pembatalan pada frekuensi yang tidak diinginkan: tempatkan zero pada lingkaran satuan pada sudut-sudut tersebut.
2. Pita lolos dengan gain: tempatkan pole di dekat (tetapi di dalam) lingkaran satuan pada sudut pita lolos yang diinginkan.
3. Koefisien real: pastikan semua zero & pole kompleks muncul dalam pasangan konjugat.
4. Pemeriksaan stabilitas: verifikasi semua pole memenuhi |p| < 1 sebelum menghitung koefisien.
5. Lebar transisi: pole lebih dekat ke lingkaran satuan → transisi lebih tajam tetapi margin stabilitas lebih kecil.
Metode grafis mengonversi spesifikasi rekayasa (lewatkan frekuensi ini, hentikan itu, dengan riak ini) menjadi batasan geometris (tempatkan pole & zero di sini), kemudian membaca koefisien polinomial.