un — ციფრული ფილტრების გეომეტრია II

un

სტუმარი

1 / ?

Z-სიბრტყე როგორც დიზაინის სივრცე

Z-გარდაქმნა ფილტრის კოეფიციენტების თანმიმდევრობას გარდაქმნის მრავალწევრ (ან რაციონალურ ფუნქციას) კომპლექსური ცვლადი z-ში. გადაცემის ფუნქციას H(z) აქვს:

- ნულები: მნიშვნელობები z_k სადაც H(z_k) = 0

- პოლუსები: მნიშვნელობები p_k სადაც H(z) → ∞ (მნიშვნელის ფესვები რეკურსიული ფილტრებისთვის)

H(z) შეფასება ერთეულის წრეზე z = e^{i2πf} იძლევა სიხშირის პასუხს H(f). ერთეულის წრე არის საზღვარი სადაც დროის დომენის სტაბილურობა & სიხშირის დომენის ანალიზი იკვეთება.

მანძილი-ნამრავლის ფორმულა

|H(f)| = ∏_k |e^{i2πf} − z_k| / ∏_k |e^{i2πf} − p_k|

პასუხის წაკითხვა ნახაზიდან:

- ნული წრეზე: მანძილი = 0 → სრული გამკრთალება

- ნული წრის შიგნით: მანძილი > 0 → ნაწილობრივი შესუსტება ამ კუთხის მახლობლად

- პოლუსი წრის მახლობლად: მცირე მნიშვნელი → დიდი გაძლიერება (პიკი)

- პოლუსი წრის გარეთ: ფილტრი არასტაბილური (მხოლოდ IIR)

Z-Plane: Pole-Zero Diagram

ნულების დიზაინი გამკრთალებებისთვის

სიხშირე f_0 სრულად გამკრთალებისთვის: ადგილი ნული z_0 = e^{i2πf_0}.

ორივე f_0 & მისი კონიუგირებული სიხშირე გამკრთალებისთვის (რეალური კოეფიციენტების ფილტრისთვის): ადგილი ნულები e^{±i2πf_0}. რთული ნულები უნდა მოვიდნენ კონიუგირებული წყვილებში რეალური კოეფიციენტების ფილტრებისთვის.

თითოეული ნული ამატებს ერთ ფაქტორს მრიცხველში: (z − z_0). ფილტრი, რომელიც აღმოფხვრის N სიხშირეებს, აქვს N ნული.

თქვენ გჭირდებათ ფილტრი, რომელიც ატარებს f = 0 (DC) და სრულად აღმოფხვრის f = 1/4 და f = 1/3. აღწერეთ ნულების მდებარეობები Z-სიბრტყეში: რამდენი ნული გჭირდებათ, სად უნდა განთავსდნენ ისინი (ერთეულის წრის კუთხის თვალსაზრისით), რომელი შეზღუდვა აიძულებთ კონიუგირებული ნულების ჩასმას? შემდეგ დაწერეთ მრიცხველი მრავალწევრი H(z), რომელიც ამ ნულების მდებარეობიდან გამომდინარეობს.

პოლუსები ძლიერებენ პასუხს

პოლუსი z = p-ზე უწყობს ფაქტორს 1/(z − p) H(z)-ში. p-სთან ერთეულის წრის წერტილის მახლობლად, |e^{i2πf} − p| მცირეა, რაც H(f)|-ს დიდს ხდის. რაც უფრო ახლოს პოლუსი ერთეულის წრესთან, მით უფრო მკრთალო პიკი.

სტაბილურობის საზღვარი

რეკურსიული (IIR) ფილტრისთვის, სისტემა სტაბილურია თუ და მხოლოდ თუ ყველა პოლუსი მკაცრად ერთეულის წრის შიგნითაა (|p| < 1). პოლუსი |p| = 1-ზე აწარმოებს მდგრადი რხევას (ზღვრულად სტაბილური). პოლუსი |p| > 1-ზე აწარმოებს მზარდ რხევას (არასტაბილური).

ერთეულის წრე სტაბილურობის საზღვარია Z-სიბრტყეში, ისევე როგორც წარმოსახვითი ღერძი სტაბილურობის საზღვარია ლაპლას s-სიბრტყეში უწყვილო დროის სისტემებისთვის.

ჰემინგის გამხმელი საშხაპე ისტორია

ჰემინგმა გამხმელმა ილუსტრაცია გააკეთა სტაბილურობის სათანადო ტემპერატურის პოვნის საშხაპე. მილის დაგვიანება ნიშნავდა, რომ მისი შესწორებები გვიან დამსახურდა — ის უწყვეტად გასცდა მიზანს. უკუკავშირის მარყუჟი არასტაბილურ გახდა. IIR ფილტრები აწყდებიან იმავე რისკს: ზეზე უკუკავშირი (პოლუსები ძალიან ახლოს ან ერთეულის წრის გარეთ) და გამოშვება განსხვავდება.

სტაბილურობა პოლუსების მდებარეობიდან

მეორე რიგის IIR ფილტრს გადაცემის ფუნქცია აქვს:

H(z) = 1 / (1 − a₁z⁻¹ − a₂z⁻²) = z² / (z² − a₁z − a₂)

პოლუსები არის z² − a₁z − a₂ = 0 ფესვები.

სტაბილურობა: |p₁| < 1 და |p₂| < 1 ორივე ფესვისთვის.

მეორე რიგის IIR ფილტრს აქვს პოლუსები p₁ = 0.8 · e^{iπ/3} და p₂ = 0.8 · e^{−iπ/3} (კონიუგირებული წყვილი). (ა) ორივე პოლუსი ერთეულის წრის შიგნითაა? გამართეთ |p|-ის გამოყენებით. (ბ) რომელი სიხშირის მახლობლად აწარმოებს ფილტრი მის უდიდეს გაძლიერებას? გამართეთ გეომეტრიულად. (გ) თუ პოლუსის რადიუსი იზრდება 0.8-დან 1.1-მდე, რა ხდება სტაბილურობისთვის?

გრაფიკული დიზაინის მეთოდი

გამოცდილი ფილტრის დიზაინერები ესკიზ-იკ-ებენ პოლუსი-ნულის ნახაზებს დაწერამდე რამეს. გეომეტრია პასუხის ფორმას მაშინვე ამჟღავნებს.

დიზაინის წესი-სიტყვა

1. უსაჭირო სიხშირეებზე გამკრთალებები: ადგილი ნულები ერთეულის წრეზე იმ კუთხეებზე.

2. გასავლელი ზოლი გაძლიერებით: ადგილი პოლუსები მახლოს (მაგრამ შიგნით) ერთეულის წრის სასურველ გასავლელი ზოლის კუთხეზე.

3. რეალური კოეფიციენტები: დარწმუნდით ყველა რთული ნული & პოლუსი გამოჩნდებიან კონიუგირებული წყვილებში.

4. სტაბილურობის შემოწმება: გადაამოწმეთ ყველა პოლუსი აკმაყოფილებს |p| < 1 კოეფიციენტების გამოთვლამდე.

5. გადასვლის სიგანე: პოლუსები უფრო ახლოს ერთეულის წრესთან → უფრო მკრთალო გადასვლა მაგრამ ნაკლებ სტაბილურობის ზღვრით.

გრაფიკული მეთოდი საინჟინრო სპეციფიკაციას (გაიარ ეს სიხშირეები, დააჩერ იმ, ეს ტალღაზომით) გეომეტრიულ შეზღუდვად გარდაქმნის (ადგილი პოლუსები & ნულები აქ), შემდეგ წაკითხულია პოლინომიალური კოეფიციენტები.

მოხაზეთ (აღწერეთ სიტყვებით) პოლუსი-ნულის დიაგრამა ზოლსაკიდელი ფილტრისთვის f = 1/4-ზე ცენტრირებული, რომელიც: (ა) აქვს სრული გამკრთალებები f = 0 და f = 1/2-ზე; (ბ) აქვს პიკი f = 1/4-ზე; (გ) იყენებს რეალურ კოეფიციენტებს; (დ) სტაბილურია. დაასახელეთ ყველა პოლუსის & ნულის მდებარეობა და გამართეთ თითოეული განთავსება გეომეტრიული წესით.