Il Piano Z come Spazio di Progettazione
La Z-trasformata converte una sequenza di coefficienti di filtro in un polinomio (o funzione razionale) nella variabile complessa z. La funzione di trasferimento H(z) ha:
- Zeri: valori z_k dove H(z_k) = 0
- Poli: valori p_k dove H(z) → ∞ (radici del denominatore per filtri ricorsivi)
Valutare H(z) sul cerchio unitario z = e^{i2πf} dà la risposta in frequenza H(f). Il cerchio unitario è il confine dove la stabilità nel dominio del tempo e l'analisi nel dominio della frequenza si intersecano.
La Formula del Prodotto delle Distanze
|H(f)| = ∏_k |e^{i2πf} − z_k| / ∏_k |e^{i2πf} − p_k|
Leggere la risposta dal grafico:
- Zero SUL cerchio: distanza = 0 → annullamento completo
- Zero DENTRO il cerchio: distanza > 0 → attenuazione parziale vicino a quell'angolo
- Polo VICINO al cerchio: denominatore piccolo → grande guadagno (picco)
- Polo FUORI dal cerchio: filtro instabile (solo IIR)
Progettare Zeri per Annullamenti
Per annullare completamente la frequenza f_0: posizionare uno zero in z_0 = e^{i2πf_0}.
Per annullare sia f_0 che la sua frequenza coniugata (per un filtro a coefficienti reali): posizionare zeri in e^{±i2πf_0}. Gli zeri complessi devono venire in coppie coniugate per coefficienti reali.
Ogni zero aggiunge un fattore al numeratore: (z − z_0). Un filtro che annulla N frequenze ha N zeri.
I Poli Aumentano la Risposta
Un polo in z = p contribuisce con un fattore 1/(z − p) a H(z). Vicino al punto del cerchio unitario più vicino a p, |e^{i2πf} − p| è piccolo, rendendo |H(f)| grande. Più il polo è vicino al cerchio unitario, più il picco è acuto.
Confine di Stabilità
Per un filtro ricorsivo (IIR), il sistema è stabile se e solo se tutti i poli si trovano rigorosamente dentro il cerchio unitario (|p| < 1). Un polo in |p| = 1 produce oscillazione sostenuta (marginalmente stabile). Un polo in |p| > 1 produce oscillazione crescente (instabile).
Il cerchio unitario serve come confine di stabilità nel piano Z, proprio come l'asse immaginario serve come confine di stabilità nel piano s di Laplace per i sistemi a tempo continuo.
La Storia della Doccia con Retroazione di Hamming
Hamming ha illustrato la stabilità con una doccia che richiedeva di trovare la giusta temperatura. Il ritardo nel tubo significava che le sue correzioni arrivavano in ritardo — continuava a superare il target. Il ciclo di retroazione è diventato instabile. I filtri IIR affrontano lo stesso rischio: troppa retroazione (poli troppo vicini al cerchio unitario o al di fuori) e l'output diverge.
Stabilità dalle Posizioni dei Poli
Un filtro IIR del secondo ordine ha la funzione di trasferimento:
H(z) = 1 / (1 − a₁z⁻¹ − a₂z⁻²) = z² / (z² − a₁z − a₂)
I poli sono le radici di z² − a₁z − a₂ = 0.
Stabilità: |p₁| < 1 e |p₂| < 1 per entrambe le radici.
Il Metodo di Progettazione Grafica
I progettisti esperti di filtri disegnano tracciati poli-zeri prima di calcolare qualsiasi cosa. La geometria rivela istantaneamente la forma della risposta.
Regole Pratiche di Progettazione
1. Annullamenti alle frequenze indesiderate: posizionare zeri sul cerchio unitario a quegli angoli.
2. Banda passante con guadagno: posizionare poli vicino (ma dentro) il cerchio unitario all'angolo della banda passante desiderato.
3. Coefficienti reali: assicurare che tutti gli zeri e i poli complessi appaiano in coppie coniugate.
4. Verifica di stabilità: verificare che tutti i poli soddisfino |p| < 1 prima di calcolare i coefficienti.
5. Larghezza di transizione: poli più vicini al cerchio unitario → transizione più acuta ma margine di stabilità minore.
Il metodo grafico converte la specifica ingegneristica (passa queste frequenze, stoppa quelle, con questa ondulazione) in un vincolo geometrico (posiziona poli e zeri qui), quindi legge i coefficienti polinomiali.