Z-плоскость как пространство проектирования
Z-преобразование преобразует последовательность коэффициентов фильтра в полином (или рациональную функцию) комплексной переменной z. Передаточная функция H(z) имеет:
- Нули: значения z_k, где H(z_k) = 0
- Полюсы: значения p_k, где H(z) → ∞ (корни знаменателя для рекурсивных фильтров)
Вычисление H(z) на единичной окружности z = e^{i2πf} дает частотную характеристику H(f). Единичная окружность — граница, где пересекаются устойчивость временной области & анализ частотной области.
Формула произведения расстояний
|H(f)| = ∏_k |e^{i2πf} − z_k| / ∏_k |e^{i2πf} − p_k|
Чтение отклика из графика:
- Нуль НА окружности: расстояние = 0 → полное подавление
- Нуль ВНУТРИ окружности: расстояние > 0 → частичное подавление у этого угла
- Полюс РЯДОМ с окружностью: малый знаменатель → большой коэффициент усиления (пик)
- Полюс ВНЕ окружности: фильтр неустойчив (только БИХ)
Проектирование нулей для подавления
Для полного подавления частоты f_0: поместить нуль в z_0 = e^{i2πf_0}.
Для подавления частот f_0 & сопряженной частоты (для фильтра с вещественными коэффициентами): поместить нули в e^{±i2πf_0}. Комплексные нули должны идти сопряженными парами для вещественных коэффициентов.
Каждый нуль добавляет один множитель в числитель: (z − z_0). Фильтр, подавляющий N частот, имеет N нулей.
Полюсы усиливают отклик
Полюс в z = p вносит множитель 1/(z − p) в H(z). Рядом с точкой единичной окружности, ближайшей к p, |e^{i2πf} − p| мала, делая |H(f)| большой. Чем ближе полюс к единичной окружности, тем острее пик.
Граница устойчивости
Для рекурсивного (БИХ) фильтра система устойчива тогда & только тогда, когда все полюсы строго внутри единичной окружности (|p| < 1). Полюс в |p| = 1 производит устойчивые колебания (маргинально устойчив). Полюс в |p| > 1 производит растущие колебания (неустойчив).
Единичная окружность служит границей устойчивости на Z-плоскости, так же как мнимая ось служит границей устойчивости на плоскости Лапласа для непрерывных систем.
Душ Хэмминга
Хэмминг иллюстрировал устойчивость душем, требовавшим найти правильную температуру. Задержка трубопровода означала, что его коррекции приходили поздно — он постоянно переходил. Цикл обратной связи становился неустойчив. БИХ фильтры сталкиваются с тем же риском: слишком много обратной связи (полюсы слишком близко или вне единичной окружности) & выход расходится.
Устойчивость из расположения полюсов
БИХ фильтр второго порядка имеет передаточную функцию:
H(z) = 1 / (1 − a₁z⁻¹ − a₂z⁻²) = z² / (z² − a₁z − a₂)
Полюсы — корни z² − a₁z − a₂ = 0.
Устойчивость: |p₁| < 1 и |p₂| < 1 для обоих корней.
Метод графического проектирования
Опытные проектировщики фильтров набрасывают диаграммы полюсов & нулей перед любыми вычислениями. Геометрия раскрывает форму отклика мгновенно.
Правила проектирования
1. Подавление нежелательных частот: поместить нули на единичной окружности под этими углами.
2. Полоса пропускания с усилением: поместить полюсы рядом (но внутри) единичной окружности под желаемым углом полосы пропускания.
3. Вещественные коэффициенты: убедиться, что все комплексные нули & полюсы появляются сопряженными парами.
4. Проверка устойчивости: проверить все полюсы удовлетворяют |p| < 1 перед вычислением коэффициентов.
5. Ширина переходной области: полюсы ближе к единичной окружности → острее переход но меньше запас устойчивости.
Графический метод преобразует инженерную спецификацию (пропустить эти частоты, подавить те, с этой пульсацией) в геометрическое ограничение (поместить полюсы & нули здесь), затем считать полиномиальные коэффициенты.