un

guest
1 / ?
back to lessons

Z-ek Alanı Olarak Tasarım

Z-çevrimi, bir filtre'nin katsayı dizisini karmaşık değişken z'ye göre bir polinom (veya irrasyonel fonksiyon) olarak dönüştürür. Transfer fonksiyonu H(z):

- Sıfırlar: H(z_k) = 0 olan değerler z_k

- Kutuplar: H(z) → ∞ (dönüştürücü filtreler için kenar değerleri) olan değerler p_k

Birimi daire üzerinde z = e^{i2πf} değerlerinde H(z) H(f) frekans tepkisini verir. Birimi daire, zaman-domainli stabilite ve frekans-domainli analiz arasındaki kesişme noktasıdır.

Uzaklık-Ürün Formülü

|H(f)| = ∏_k |e^{i2πf} − z_k| / ∏_k |e^{i2πf} − p_k|

Grafikten tepki okuma:

- Daire üzerinde sıfır: uzaklık = 0 → tamamen sıfır

- Daire içinde sıfır: uzaklık > 0 → o açıdaki frekansları kısmen azaltır

- Daire yakınındaki kutup: küçük kenar → büyük kazanç (zirve)

- Daire dışındaki kutup: IIR filtre için istikrarlı değil

Z-ek: Kutup-Sıfır Diyagramı

Sıfırların Nötrlük Tasarımı

Tamamen frekansı nötrle: z_0 = e^{i2πf_0} konumunda sıfır yerleştirin.

Frekansı ve onun konjugat frekansını (gerçek katsayılı bir filtre için) tamamen nötrle: e^{±i2πf_0} konumunda sıfırlar yerleştirin. Karmaşık sıfırlar, gerçek katsayılar içeren filtreler için konjugat çiftleri olmalıdır.

Her sıfır, filtre tarafından nötrlecek olan frekans sayısı kadar bir faktör ekler: (z − z_0). N frekansı nötrleyen bir filtre, N sıfır içerir.

DC'yi geç ve frekansları tamamen nötrle f = 1/4 ve f = 1/3 gerektiğinde bir filtre tasarlayın. Z-ek alanında sıfır konumlarını açıklayın: kaç sıfır gerekiyor, onlar nerede olmalı (birimi daire üzerinde olan açısal konum), ve gerçek katsayılar içeren bir filtre için konjugat sıfırların dahil edilmesi gereken kısıtlama. Sonra o sıfır konumlarına göre ifade edilen katsayı polinomunu belirtin.

Pol ile Cevap Yükseltme

Bir pol z = p'ye katkıda bulunan bir faktör 1/(z − p) ile H(z) ye katkıda bulunur. Birim çemberin en yakın noktasına yakın olan pol, |H(f)|'i büyük hale getirir. Polün birim çembere olan yakınlığı, tepenin keskinliğini artırır.

Stabilite Sınırı

Döngülü (IIR) bir filtre için, pol lerin tümü birimi çemberin içinde (|p| < 1) olması durumunda ve sadece bu durumda sistem stabildir. |p| = 1 olan bir pol, sürekli sinyal üretir (sınırında stabil). |p| > 1 olan bir pol, büyüyen sinyal üretir (istikrarlı olmayan).

Z-eksiği'nde stabilite sınırı, sürekli zaman sistemleri için Laplace s-eksiği'nde olan sanal eksen gibidir.

Hamming'in Geri Bildirim Duş Hikayesi

Hamming, stabiliteyi bir duş hikayesiyle gösterdi. Su ısısının doğru ayarlanmasında, boru gecikmesi nedeniyle düzeltilenleri geç geldi - sürekli geçiş yaptı. Geri bildirim döngüsü istikrarsızlaştı. IIR filtreler de aynı riskle karşı karşıyadır: fazla geri bildirim (polün birimi çemberine yakın veya dışında olması) ve çıktı dalgalanır.

Stabilite Pol Konumlarından

Bir ikinci dereceden IIR filtresi için transfer fonksiyonu:

H(z) = 1 / (1 − a₁z⁻¹ − a₂z⁻²) = z² / (z² − a₁z − a₂)

Pol ler, z² − a₁z − a₂ = 0'in köküdür.

Stabilite: |p₁| < 1 ve |p₂| < 1 için her iki kökü.

Bir ikinci dereceden IIR filtresi p₁ = 0.8 · e^{iπ/3} ve p₂ = 0.8 · e^{−iπ/3} (ikiz çift) olmak üzere polatlara sahip (a) Her iki pol birimi çember içinde mi? |p| kullanarak doğrulayın. (b) Filtrenin en büyük kazançını hangi frekans f yakınır? Jiroskopik olarak doğrulayın. (c) Pol yarıçapını 0.8'den 1.1'e çıkarmakla ne olur istikrar?

Grafiğe Dayalı Tasarım Yöntemi

Deneyimli filter tasarımcılar, her şeyi hesaplamadan önce pole-zero çizimlerini yapar. Geometri, yanıt şeklini anında ortaya koyar.

Tasarım Kuralları Uygulamaları

1. İstenmeyen frekansları sıfırlamak: O açıdaki sıfırları birimler üzerinde yerleştirin.

2. Kazanım bandı ile: İstenen geçiş bandı açısı etrafında, ancak dairenin içinde, poleri yerleştirin.

3. Gerçek katsayılar: Tüm karmaşık sıfırlar ve polenlerin eşleşen çiftlerde görünmesini sağlayın.

4. Stabilite kontrolü: Katsayıları hesaplamadan önce tüm polerlerin |p| < 1 olduğunu doğrulayın.

5. Geçiş Genişliği: Dairenin etrafına daha yakın polerler → daha keskin geçiş ama daha az stabilite marjı.

Grafiğe dayalı yöntem, mühendislik gereksinimini (bu frekansları geçir, bu frekansları durdur, bu sarsıntı ile) geometrik bir kısıtlama (poler ve sıfırları burada yerleştir) olarak dönüştürür ve ardından polinom katsayılarını okuyar.

Bir bandpass filtre için, f = 1/4 etrafında merkezli olan, (a) f = 0 ve f = 1/2'de tamamen sıfırlar; (b) f = 1/4'te zirve; (c) gerçek katsayılar kullanır; (d) istikrarlı olan pole-zero diyagramını çiziniz (kelimeler ile açıklayın). Her pole ve zeroyu adlandırın ve her birini bir geometrik kurala dayalı olarak gerekçelendirin.