مستوى Z كفضاء التصميم
يحول تحويل Z سلسلة معاملات المرشح إلى كثيرة حدود (أو دالة كسرية) في المتغير المعقد z. دالة النقل H(z) لها:
- الأصفار: القيم z_k حيث H(z_k) = 0
- الأقطاب: القيم p_k حيث H(z) → ∞ (جذور المقام للمرشحات التكرارية)
يعطي تقييم H(z) على دائرة الوحدة z = e^{i2πf} استجابة التردد H(f). دائرة الوحدة هي الحد الفاصل حيث يلتقي استقرار المجال الزمني و تحليل المجال الترددي.
صيغة الحاصل الضربي للمسافات
|H(f)| = ∏_k |e^{i2πf} − z_k| / ∏_k |e^{i2πf} − p_k|
قراءة الاستجابة من الرسم البياني:
- الصفر على الدائرة: المسافة = 0 → تلاشٍ كامل
- الصفر داخل الدائرة: المسافة > 0 → توهين جزئي بالقرب من هذه الزاوية
- القطب بالقرب من الدائرة: مقام صغير → كسب كبير (ذروة)
- القطب خارج الدائرة: المرشح غير مستقر (IIR فقط)
تصميم الأصفار للتلاشيات
لتلاشي التردد f_0 بالكامل: ضع صفراً عند z_0 = e^{i2πf_0}.
لتلاشي كل من f_0 و ترددها المرافق (للمرشح ذو المعاملات الحقيقية): ضع أصفاراً عند e^{±i2πf_0}. يجب أن تأتي الأصفار المعقدة في أزواج مرافقة للمعاملات الحقيقية.
كل صفر يضيف عاملاً واحداً إلى البسط: (z − z_0). المرشح الذي يلاشي N من الترددات له N أصفار.
الأقطاب تعزز الاستجابة
قطب عند z = p يساهم بعامل 1/(z − p) في H(z). بالقرب من نقطة دائرة الوحدة الأقرب إلى p، |e^{i2πf} − p| صغيرة، مما يجعل |H(f)| كبيرة. كلما اقترب القطب من دائرة الوحدة، كلما كانت الذروة أحد.
حد الاستقرار
للمرشح التكراري (IIR)، النظام مستقر إذا و فقط إذا كانت جميع الأقطاب تقع بشكل صارم داخل دائرة الوحدة (|p| < 1). قطب عند |p| = 1 ينتج تذبذب مستدام (هامشياً مستقراً). قطب عند |p| > 1 ينتج تذبذب متنام (غير مستقر).
تخدم دائرة الوحدة كحد استقرار في مستوى Z، تماماً كما تخدم المحور التخيلي كحد استقرار في مستوى Laplace s للأنظمة المستمرة الزمن.
قصة دش هامينج للتغذية الراجعة
يوضح هامينج الاستقرار بدش يتطلب إيجاد درجة الحرارة الصحيحة. التأخير في الأنابيب معناه أن تصحيحاته وصلت متأخرة — ظل يتجاوز الهدف. حلقة التغذية الراجعة أصبحت غير مستقرة. تواجه مرشحات IIR نفس المخاطر: الكثير من التغذية الراجعة (أقطاب قريبة جداً من أو خارج دائرة الوحدة) و الناتج ينحرف.
الاستقرار من مواضع الأقطاب
مرشح IIR من الدرجة الثانية له دالة النقل:
H(z) = 1 / (1 − a₁z⁻¹ − a₂z⁻²) = z² / (z² − a₁z − a₂)
الأقطاب هي جذور z² − a₁z − a₂ = 0.
الاستقرار: |p₁| < 1 و |p₂| < 1 لكلا الجذرين.
طريقة التصميم البيانية
يرسم مصممو المرشحات ذوو الخبرة مخططات الأقطاب و الأصفار قبل حساب أي شيء. الهندسة تكشف شكل الاستجابة فوراً.
قواعد التصميم الموثوقة
1. تلاشيات بالترددات غير المرغوبة: ضع أصفاراً على دائرة الوحدة عند تلك الزوايا.
2. نطاق عملٍ مع كسب: ضع أقطاباً بالقرب من (لكن داخل) دائرة الوحدة عند زاوية النطاق المرغوب.
3. معاملات حقيقية: تأكد أن جميع الأصفار و الأقطاب المعقدة تظهر في أزواج مرافقة.
4. فحص الاستقرار: تحقق من أن جميع الأقطاب تحقق |p| < 1 قبل حساب المعاملات.
5. عرض الانتقال: أقطاب أقرب إلى دائرة الوحدة → انتقال أكثر حدة لكن هامش استقرار أقل.
تحول الطريقة البيانية المواصفات الهندسية (مرر هذه الترددات، أوقف تلك، مع هذا التموج) إلى قيد هندسي (ضع أقطاباً و أصفاراً هنا)، ثم اقرأ معاملات كثيرة الحدود من الرسم.